方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.3 判断下列级数的收敛性:
(1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{2}^{\ln n}}}$ (2) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{\ln n}}}$
(3) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{n}{{3}^{\sqrt{n}}}}$ (4) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{\ln n}{{n}^{p}}\left( {p > 1}\right)$ .
💡 答案解析
4.1.3 (1)发散；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断级数 ∑ 1/(2^{ln n}) 的收敛性
将通项改写为 1/(2^{ln n}) = 1/(n^{ln 2})，因为 2^{ln n} = e^{ln n * ln 2} = n^{ln 2}。由于 ln 2 < 1，p-级数 ∑ 1/n^{ln 2} 发散，所以原级数发散。
公式：2^{ln n} = n^{ln 2}
提示：利用指数与对数的恒等变形，将通项化为 p-级数形式。
步骤 2/4
目标：判断级数 ∑ 1/(n^{ln n}) 的收敛性
当 n ≥ 3 时，ln n > 1，所以 n^{ln n} > n^2，因此 1/(n^{ln n}) < 1/n^2。由于 ∑ 1/n^2 收敛，由比较判别法知原级数收敛。
公式：n^{ln n} > n^2 当 n ≥ 3
提示：利用指数函数增长快于幂函数，找到比较级数。
步骤 3/4
目标：判断级数 ∑ n/(3^{√n}) 的收敛性
考虑根值判别法：lim_{n→∞} (n/3^{√n})^{1/n} = lim_{n→∞} n^{1/n} / 3^{1/√n} = 1/1 = 1，根值判别法失效。改用比较判别法：对于充分大的 n，3^{√n} > n^3，所以 n/3^{√n} < n/n^3 = 1/n^2，由比较判别法知级数收敛。
公式：3^{√n} > n^3 当 n 充分大
提示：根值判别法失效时，可尝试比较判别法，利用指数增长快于幂函数。
步骤 4/4
目标：判断级数 ∑ (ln n)/n^p (p>1) 的收敛性
取 q 满足 1 < q < p，则当 n 充分大时，ln n < n^{p-q}，所以 (ln n)/n^p < n^{p-q}/n^p = 1/n^q。由于 ∑ 1/n^q 收敛（q>1），由比较判别法知原级数收敛。
公式：ln n < n^{p-q} 当 n 充分大
提示：利用对数函数增长慢于任何幂函数，选取适当的 q 进行放缩。
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