方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.21 设 ${x}_{1} > 0,{x}_{n + 1} = 1 + \frac{1}{{x}_{n}}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 求证:
(1) $\displaystyle{1 \leq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} \leq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} \leq 2}$ ;
(2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在,并求其极限值.
💡 答案解析
4. 1.21 (2) $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明数列有界
由 x1 > 0 及递推公式 x_{n+1} = 1 + 1/x_n，易见所有 x_n > 0。先证 x_n ≥ 1：若 x_n ≥ 1，则 x_{n+1} = 1 + 1/x_n ≤ 2；若 x_n < 1，则 x_{n+1} = 1 + 1/x_n > 2，但此时 x_{n+1} > 2 ≥ 1。实际上，从 x1 > 0 出发，归纳可得 x_n ≥ 1 对所有 n ≥ 2 成立。同时，由 x_n ≥ 1 得 x_{n+1} = 1 + 1/x_n ≤ 2，故所有项（从第二项起）均在 [1,2] 内。因此上下极限也在 [1,2] 内，即 1 ≤ liminf x_n ≤ limsup x_n ≤ 2。
公式：x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n}
提示：注意从第二项开始有界，第一项可能小于1，但不影响极限。
步骤 2/3
目标：证明极限存在
考虑奇数项和偶数项子列。设 a_n = x_{2n-1}, b_n = x_{2n}。由递推式可得 x_{n+2} = 1 + 1/(1+1/x_n) = (2x_n+1)/(x_n+1)。于是 a_{n+1} = (2a_n+1)/(a_n+1), b_{n+1} = (2b_n+1)/(b_n+1)。构造函数 f(x) = (2x+1)/(x+1)，则 f(x) 在 [1,2] 上单调递增（导数正）。由于 a_1 = x_1 > 0，但可证 a_n 单调有界：例如，若 a_n ≤ a_{n+1}，则 a_{n+1} = f(a_n) ≤ f(a_{n+1}) = a_{n+2}，故奇数项单调；类似可证偶数项单调。实际上，通过计算差或利用不动点，可证奇数项递增、偶数项递减，且两者均收敛于同一极限。因此原数列极限存在。
公式：x_{n+2} = \frac{2x_n+1}{x_n+1}
提示：利用单调有界定理，分别考虑奇偶子列。
步骤 3/3
目标：求极限值
设极限为 L，则 L 满足 L = 1 + 1/L，即 L^2 - L - 1 = 0。解得 L = (1 ± √5)/2。由于 x_n ≥ 1，故取正根 L = (1+√5)/2。
公式：L = 1 + \frac{1}{L}
提示：极限值即为黄金分割比。
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