方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.25 (1) 设 $0 < q < 1$ ,求证: $\exists r \in \left( {q,1}\right)$ ,使 $n$ 充分大时,有
$$ 1 + \frac{q}{n} < {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{r}\;\left( {n > N}\right) ; $$
(2)设 ${a}_{n} > 0$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left( {\frac{1 + {a}_{n + 1}}{{a}_{n}} - 1}\right) \geq 1$ .
💡 答案解析
4. 1.25 (2) 用反证法证得级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{r}}\left( {0 < r < 1}\right)$ 收敛,从而得矛盾.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明存在 r ∈ (q,1) 使得不等式成立
考虑函数 f(x) = ln(1 + 1/n)^x = x ln(1 + 1/n)。要证 1 + q/n < (1 + 1/n)^r，等价于 ln(1 + q/n) < r ln(1 + 1/n)。由于 ln(1 + x) ~ x (x→0)，当 n 充分大时，ln(1 + q/n) ≈ q/n，ln(1 + 1/n) ≈ 1/n。因此只需 r > q。取 r = (1+q)/2 ∈ (q,1)，则当 n 充分大时，不等式成立。
公式：ln(1 + x) ~ x (x→0)
提示：利用等价无穷小简化不等式
步骤 2/2
目标：证明极限不等式 lim n((1+a_{n+1})/a_n - 1) ≥ 1
用反证法。假设 lim n((1+a_{n+1})/a_n - 1) < 1，则存在 r ∈ (0,1) 使得当 n 充分大时，n((1+a_{n+1})/a_n - 1) ≤ r，即 (1+a_{n+1})/a_n ≤ 1 + r/n。由 (1) 的结论，存在 r' ∈ (r,1) 使得 (1 + r/n) < (1 + 1/n)^{r'}，从而 (1+a_{n+1})/a_n < (1 + 1/n)^{r'}。递推可得 a_{n+1} < C/(n+1)^{r'}，但级数 ∑ 1/(n+1)^{r'} 收敛，而 ∑ a_n 发散（由 a_n > 0 且极限条件），矛盾。
公式：n((1+a_{n+1})/a_n - 1) ≤ r ⇒ (1+a_{n+1})/a_n ≤ 1 + r/n
提示：反证法结合 (1) 的结论
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