方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.12 证明:
(1) $\left| {x - 2\left( {x \cdot a}\right) \frac{a}{{\left| a\right| }^{2}}}\right| = \left| x\right| \left( {a \neq 0}\right)$ ；
(2) $\left| {\frac{x}{{\left| x\right| }^{2}} - \frac{y}{{\left| y\right| }^{2}}}\right| = \frac{\left| x - y\right| }{\left| x\right| \left| y\right| }$ ；
(3) $\left| \mathbf{x}\right| \left| {\mathbf{y} - \mathbf{x}/{\left| \mathbf{x}\right| }^{2}}\right| = \left| \mathbf{y}\right| \left| {\mathbf{x} - \mathbf{y}/{\left| \mathbf{y}\right| }^{2}}\right|$ .
💡 答案解析
5. 1.9 对 $\forall {x}_{n} \in {F}_{n}$ ,则 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为有界点列,证它是哥西序列.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明等式 (1)
设向量 x 和 a，其中 a ≠ 0。计算 x - 2(x·a)a/|a|^2 的模的平方：|x - 2(x·a)a/|a|^2|^2 = |x|^2 - 4(x·a)^2/|a|^2 + 4(x·a)^2|a|^2/|a|^4 = |x|^2。两边开平方得 |x - 2(x·a)a/|a|^2| = |x|。
公式：|u - v|^2 = |u|^2 - 2u·v + |v|^2
提示：注意 a/|a|^2 是 a 的逆向量，但这里直接展开计算即可。
步骤 2/3
目标：证明等式 (2)
计算左边平方：|x/|x|^2 - y/|y|^2|^2 = 1/|x|^2 + 1/|y|^2 - 2(x·y)/(|x|^2|y|^2)。右边平方：|x-y|^2/(|x|^2|y|^2) = (|x|^2 + |y|^2 - 2x·y)/(|x|^2|y|^2) = 1/|y|^2 + 1/|x|^2 - 2(x·y)/(|x|^2|y|^2)。两边相等，开平方得证。
公式：|u|^2 = u·u
提示：注意 x/|x|^2 的模为 1/|x|。
步骤 3/3
目标：证明等式 (3)
两边平方：左边平方 = |x|^2 |y - x/|x|^2|^2 = |x|^2 (|y|^2 - 2y·(x/|x|^2) + |x/|x|^2|^2) = |x|^2|y|^2 - 2x·y + 1。右边平方 = |y|^2 |x - y/|y|^2|^2 = |y|^2 (|x|^2 - 2x·(y/|y|^2) + |y/|y|^2|^2) = |x|^2|y|^2 - 2x·y + 1。两边相等，开平方得证。
公式：|u - v|^2 = |u|^2 - 2u·v + |v|^2
提示：注意 |x/|x|^2| = 1/|x|，所以 |x|^2 * (1/|x|^2) = 1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。