方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.23 设 $A$ 是 $m \times m$ 矩阵, $\det A \neq 0$ ,求证: $\exists a > 0$ ,使得
$$ \left| {Ax}\right| \geq a\left| x\right| \;\left( {\forall x \in {\mathbf{R}}^{m}}\right) . $$
💡 答案解析
### 5.1.19
**题目**：设 $u = f(\mathbf{x})$ 在 $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^m$ 点连续，且 $f(\mathbf{x}_0) > 0$。证明存在 $\mathbf{x}_0$ 的一个邻域 $U(\mathbf{x}_0;\delta)$，使得 $f(\mathbf{x})$ 在 $U(\mathbf{x}_0;\delta)$ 上取正值。
**证明**： 由于 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 处连续，由连续的定义： $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m,\ |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| < \delta \implies |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)| < \varepsilon. $$ 取 $\varepsilon = \frac{f(\mathbf{x}_0)}{2} > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| < \delta$ 时， $$ |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)| < \frac{f(\mathbf{x}_0)}{2}. $$ 于是 $$ f(\mathbf{x}) > f(\mathbf{x}_0) - \frac{f(\mathbf{x}_0)}{2} = \frac{f(\mathbf{x}_0)}{2} > 0. $$ 因此，在邻域 $U(\mathbf{x}_0;\delta)$ 内，$f(\mathbf{x})$ 恒为正。证毕。
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### 5.1.20
**题目**：设 $E$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中任意点集，求证 $\rho(\mathbf{x}, E)$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上一致连续。
**证明**： 定义 $\rho(\mathbf{x}, E) = \inf_{\mathbf{y} \in E} |\mathbf{x} - \mathbf{y}|$。对任意 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in \mathbb{R}^m$，由三角不等式，对任意 $\mathbf{y} \in E$， $$ |\mathbf{x}_1 - \mathbf{y}| \le |\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2| + |\mathbf{x}_2 - \mathbf{y}|. $$ 取下确界得 $$ \rho(\mathbf{x}_1, E) \le |\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2| + \rho(\mathbf{x}_2, E). $$ 同理， $$ \rho(\mathbf{x}_2, E) \le |\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2| + \rho(\mathbf{x}_1, E). $$ 因此， $$ |\rho(\mathbf{x}_1, E) - \rho(\mathbf{x}_2, E)| \le |\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2|. $$ 这说明 $\rho(\cdot, E)$ 是 Lipschitz 连续的（Lipschitz 常数为 1），从而一致连续。证毕。
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### 5.1.21
**题目**：设 $f(\mathbf{x}) \in C(\mathbb{R}^m, \mathbb{R})$，对任意实数 $\alpha$，作集合 $$ G = \{ \mathbf{x} \mid f(\mathbf{x}) > \alpha \},\quad F = \{ \mathbf{x} \mid f(\mathbf{x}) \ge \alpha \}. $$ 求证：$G$ 是开集，$F$ 是闭集。
**证明**： 1. **$G$ 是开集**：任取 $\mathbf{x}_0 \in G$，则 $f(\mathbf{x}_0) > \alpha$。令 $\varepsilon = f(\mathbf{x}_0) - \alpha > 0$。由连续性，存在 $\delta > 0$，使得当 $|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| < \delta$ 时， $$ |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)| < \varepsilon, $$ 从而 $f(\mathbf{x}) > f(\mathbf{x}_0) - \varepsilon = \alpha$。因此该邻域包含于 $G$，故 $G$ 是开集。
2. **$F$ 是闭集**：考虑补集 $F^c = \{ \mathbf{x} \mid f(\mathbf{x}) < \alpha \}$。同理可证 $F^c$ 是开集（因为 $f$ 连续，小于某值的点集是开集），所以 $F$ 是闭集。证毕。
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### 5.1.22
**题目**：设 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^m$，$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_m)$。求证： (1) $\exists a>0, b>0$，使得 $\displaystyle{a|\mathbf{x}| \le \sum_{i=1}^m |x_i| \le b|\mathbf{x}|}$； (2) $\exists a>0, b>0$，使得 $\displaystyle{a|\mathbf{x}| \le \max_{1\le i\le m} |x_i| \le b|\mathbf{x}|}$。
**证明**： (1) 由 Cauchy-Schwarz 不等式， $$ \sum_{i=1}^m |x_i| \le \sqrt{m} \sqrt{\sum_{i=1}^m x_i^2} = \sqrt{m} |\mathbf{x}|. $$ 另一方面， $$ \sum_{i=1}^m |x_i| \ge \sqrt{\sum_{i=1}^m x_i^2} = |\mathbf{x}|, $$ 因为 $(\sum |x_i|)^2 \ge \sum x_i^2$。取 $a=1, b=\sqrt{m}$ 即可。
(2) 显然 $\displaystyle{\max |x_i| \le |\mathbf{x}|}$，因为 $|\mathbf{x}| = \sqrt{\sum x_i^2} \ge \sqrt{(\max |x_i|)^2} = \max |x_i|$。另一方面， $$ |\mathbf{x}| \le \sqrt{m (\max |x_i|)^2} = \sqrt{m} \max |x_i|, $$ 所以 $\displaystyle{\max |x_i| \ge \frac{1}{\sqrt{m}} |\mathbf{x}|}$。取 $a = \frac{1}{\sqrt{m}}, b=1$ 即可。证毕。
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### 5.1.23
**题目**：设 $A$ 是 $m \times m$ 矩阵，$\det A \neq 0$，求证：$\exists a>0$，使得 $$ |A\mathbf{x}| \ge a |\mathbf{x}| \quad (\forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m). $$
**证明**： 因为 $\det A \neq 0$，所以 $A$ 可逆，且 $A^{-1}$ 存在。考虑线性映射 $\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}$ 是 $\mathbb{R}^m$ 到自身的连续双射。定义函数 $$ g(\mathbf{x}) = \frac{|A\mathbf{x}|}{|\mathbf{x}|},\quad \mathbf{x} \neq 0. $$ 由于 $g$ 在单位球面 $S^{m-1} = \{\mathbf{x}: |\mathbf{x}|=1\}$ 上连续（因为 $A$ 是线性映射，连续），而单位球面是紧集，故 $g$ 在其上取得最小值 $\displaystyle{a = \min_{|\mathbf{x}|=1} |A\mathbf{x}|}$。由于 $A$ 可逆，对任意非零 $\mathbf{x}$，$A\mathbf{x} \neq 0$，所以 $a > 0$。于是对任意 $\mathbf{x} \neq 0$， $$ |A\mathbf{x}| = |\mathbf{x}| \cdot \left|\frac{A\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|}\right| \ge a |\mathbf{x}|. $$ 当 $\mathbf{x}=0$ 时等式成立。证毕。
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### 5.1.24
**题目**：设 $\bar{\Omega} \subset \mathbb{R}^m$ 是有界闭区域，$\mathbf{f}(\mathbf{x}) \in C(\bar{\Omega}, \mathbb{R}^m)$，且是单叶的。求证：$\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{x})$ 在 $\mathbf{f}(\bar{\Omega})$ 上连续。
**证明**： 记 $K = \bar{\Omega}$，它是紧集（有界闭集）。$\mathbf{f}: K \to \mathbb{R}^m$ 连续且单射，因此是 $K$ 到 $\mathbf{f}(K)$ 的双射。要证逆映射连续，即证 $\mathbf{f}$ 是闭映射（将闭集映为闭集），因为紧集上的连续双射的逆连续等价于原映射是