方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题

教材习题

📝 题目

5. 1.25 设 $f\left( {x,y}\right)$ 除直线 $x = a$ 与 $y = b$ 外有定义,且满足:

(1) $\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}f\left( {x,y}\right) = \varphi \left( x\right)$ 存在;

(2) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( {x,y}\right) = \psi \left( y\right)$ 一致存在 (即 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta \left( \varepsilon \right) > 0$ ,当 $0 < \left| {x - a}\right| < \delta$ 时, $\forall y \neq b$ ,有 $\left| {f\left( {x,y}\right) - \psi \left( y\right) }\right| < \varepsilon$ ).

证明:

(1) 累次极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}f\left( {x,y}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\varphi \left( x\right) = c$ 存在;

(2)累次极限 $\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( {x,y}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}\psi \left( y\right) = c$ ；

(3) 全面极限 $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {a,b}\right) }}f\left( {x,y}\right) = c$ .

💡 答案解析

5. 1.25 (1) 先证 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$ ,当 $0 < \left| {{x}_{1} - a}\right| < \delta ,0 < \left| {{x}_{2} - a}\right| < \delta$ 时, 对 $\forall y \neq b$ ,有 $\left| {f\left( {{x}_{1},y}\right) - f\left( {{x}_{2},y}\right) }\right| < \varepsilon$ ;

(2)利用

$$ \left| {\psi \left( y\right) - c}\right| \leq \left| {\psi \left( y\right) - f\left( {{x}_{1},y}\right) }\right| + \left| {f\left( {{x}_{1},y}\right) - \varphi \left( {x}_{1}\right) }\right| + \left| {\varphi \left( {x}_{1}\right) - c}\right| . $$

先取 ${x}_{1}$ 充分接近于 $a$ ,使前后两个绝对值小于 $\frac{\varepsilon }{3}$ ,然后固定 ${x}_{1}$ ,找 $\delta$ ,使得当 $0 <$ $\left| {y - b}\right| < \varepsilon$ 时,中间那个绝对值也小于 $\frac{\varepsilon }{3}$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明累次极限 lim_{x→a} lim_{y→b} f(x,y) = lim_{x→a} φ(x) = c 存在
首先，由条件(1)知对每个x≠a，lim_{y→b} f(x,y)=φ(x)存在。要证lim_{x→a} φ(x)=c存在，即证φ(x)在x=a处有极限。利用一致收敛性：由条件(2)，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1时，∀y≠b，有|f(x,y)-ψ(y)|<ε/3。又由条件(1)，对每个x，存在δ2(x)>0，当0<|y-b|<δ2(x)时，|f(x,y)-φ(x)|<ε/3。固定x1,x2满足0<|x1-a|<δ1，0<|x2-a|<δ1，则对任意y≠b，有|f(x1,y)-f(x2,y)| ≤ |f(x1,y)-ψ(y)| + |ψ(y)-f(x2,y)| < 2ε/3。令y→b，得|φ(x1)-φ(x2)| ≤ 2ε/3 < ε。由柯西准则，lim_{x→a} φ(x)=c存在。
公式：|φ(x1)-φ(x2)| ≤ |f(x1,y)-ψ(y)| + |ψ(y)-f(x2,y)| + |f(x1,y)-φ(x1)| + |f(x2,y)-φ(x2)|
提示：利用一致收敛性控制f(x,y)与ψ(y)的差，然后通过三角不等式传递到φ(x)的差。
步骤 2/3
目标：证明累次极限 lim_{y→b} lim_{x→a} f(x,y) = lim_{y→b} ψ(y) = c
由条件(2)知lim_{x→a} f(x,y)=ψ(y)一致存在，故ψ(y)有定义。要证lim_{y→b} ψ(y)=c。利用三角不等式：|ψ(y)-c| ≤ |ψ(y)-f(x1,y)| + |f(x1,y)-φ(x1)| + |φ(x1)-c|。先取x1充分接近a，使得由条件(2)，|ψ(y)-f(x1,y)| < ε/3对一切y≠b成立；同时由(1)中已证lim_{x→a} φ(x)=c，可取x1使得|φ(x1)-c| < ε/3。固定x1后，由条件(1)存在δ>0，当0<|y-b|<δ时，|f(x1,y)-φ(x1)| < ε/3。因此当0<|y-b|<δ时，|ψ(y)-c| < ε。故lim_{y→b} ψ(y)=c。
公式：|ψ(y)-c| ≤ |ψ(y)-f(x1,y)| + |f(x1,y)-φ(x1)| + |φ(x1)-c|
提示：先利用一致收敛性控制第一项，再利用φ(x)的极限控制第三项，最后固定x1用条件(1)控制第二项。
步骤 3/3
目标：证明全面极限 lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = c
要证∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-a|<δ，0<|y-b|<δ时，|f(x,y)-c|<ε。由条件(2)，存在δ1>0，当0<|x-a|<δ1时，∀y≠b，有|f(x,y)-ψ(y)|<ε/3。由(2)中已证lim_{y→b} ψ(y)=c，存在δ2>0，当0<|y-b|<δ2时，|ψ(y)-c|<ε/3。取δ=min(δ1,δ2)，则当0<|x-a|<δ，0<|y-b|<δ时，|f(x,y)-c| ≤ |f(x,y)-ψ(y)| + |ψ(y)-c| < ε/3 + ε/3 = 2ε/3 < ε。故全面极限存在且等于c。
公式：|f(x,y)-c| ≤ |f(x,y)-ψ(y)| + |ψ(y)-c|
提示：直接利用一致收敛性和ψ(y)的极限，通过三角不等式得到f(x,y)与c的差。

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