方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.3题
📝 题目
5. 3.1 求由下列方程所定义的函数 $y$ 的一阶、二阶导数:
(1) $\ln \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = \arctan \frac{y}{x}$ ; (2) ${xy} + {2}^{y} = 0$ .
💡 答案解析
5. 3.1 (1) ${y}^{\prime } = \frac{x + y}{x - y},{y}^{\prime \prime } = \frac{2{x}^{2} + {y}^{2}}{{\left( x - y\right) }^{3}}$ ;
(2) ${y}^{\prime } = - \frac{y}{{2}^{y}\ln 2 + x}$ ,
$$ {y}^{\prime \prime } = \frac{1}{{\left( {2}^{y}\ln 2 + x\right) }^{3}} \cdot \left( {{2xy} + y{2}^{y + 1}\ln 2 - {y}^{2}{2}^{y}{\left( \ln 2\right) }^{2}}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简方程并求一阶导数
将方程 ln√(x²+y²) = arctan(y/x) 两边取指数化简，得到 (1/2)ln(x²+y²) = arctan(y/x)。然后对两边关于 x 求导，注意 y 是 x 的函数。左边导数为 (x+yy')/(x²+y²)，右边导数为 (xy' - y)/(x²+y²)。整理得 (x+yy') = (xy' - y)，解得 y' = (x+y)/(x-y)。
公式：y' = (x+y)/(x-y)
提示：注意隐函数求导时，y 是 x 的函数，对 y 求导后要乘以 y'。
步骤 2/4
目标：求二阶导数
对 y' = (x+y)/(x-y) 两边关于 x 求导，使用商法则。设 u = x+y, v = x-y，则 u' = 1+y', v' = 1-y'。代入得 y'' = (u'v - uv')/v² = [(1+y')(x-y) - (x+y)(1-y')]/(x-y)²。化简分子得 2(xy' - y)/(x-y)²。将 y' = (x+y)/(x-y) 代入，得 y'' = 2(x*(x+y)/(x-y) - y)/(x-y)² = 2(x²+xy - y(x-y))/(x-y)³ = 2(x²+y²)/(x-y)³。
公式：y'' = 2(x²+y²)/(x-y)³
提示：注意化简过程中要仔细，避免符号错误。
步骤 3/4
目标：求第二题的一阶导数
对方程 xy + 2^y = 0 两边关于 x 求导，得 y + xy' + 2^y ln2 * y' = 0。整理得 y' (x + 2^y ln2) = -y，所以 y' = -y/(x + 2^y ln2)。
公式：y' = -y/(x + 2^y ln2)
提示：注意 2^y 的导数为 2^y ln2 * y'。
步骤 4/4
目标：求第二题的二阶导数
对 y' = -y/(x + 2^y ln2) 两边关于 x 求导，使用商法则。设 u = -y, v = x + 2^y ln2，则 u' = -y', v' = 1 + 2^y (ln2)^2 y'。代入得 y'' = (u'v - uv')/v² = [(-y')(x+2^y ln2) - (-y)(1+2^y (ln2)^2 y')]/v²。化简分子得 -y'(x+2^y ln2) + y + y*2^y (ln2)^2 y'。将 y' = -y/(x+2^y ln2) 代入，并通分整理，最终得到 y'' = [2xy + y*2^{y+1} ln2 - y² 2^y (ln2)²] / (x+2^y ln2)³。
公式：y'' = [2xy + y*2^{y+1} ln2 - y² 2^y (ln2)²] / (x+2^y ln2)³
提示：化简过程较繁琐，注意代数运算的准确性。
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