方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.3题
📝 题目
5.3.2 对下列方程所确定的 $z = z\left( {x,y}\right)$ ,求一阶偏导数:
(1) ${x}^{n} + {y}^{n} + {z}^{n} = {a}^{n}$ ; (2) $x + y + z = {\mathrm{e}}^{x + y + z}$ .
💡 答案解析
5.3.2 (1) ${z}_{x}^{\prime } = - {\left( \frac{x}{z}\right) }^{n - 1},{z}_{y}^{\prime } = - {\left( \frac{y}{z}\right) }^{n - 1};\;\left( 2\right) {z}_{x}^{\prime } = -$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：对方程两边关于x求偏导，将z视为x,y的函数
对方程 x^n + y^n + z^n = a^n 两边关于x求偏导，得到 n x^{n-1} + n z^{n-1} z_x' = 0
公式：n x^{n-1} + n z^{n-1} z_x' = 0
提示：注意y视为常数，z是x的函数
步骤 2/8
目标：解出z_x'
由 n x^{n-1} + n z^{n-1} z_x' = 0，移项得 n z^{n-1} z_x' = -n x^{n-1}，所以 z_x' = - (x^{n-1})/(z^{n-1}) = - (x/z)^{n-1}
公式：z_x' = - (x/z)^{n-1}
提示：注意n可能为0？但通常n为正整数
步骤 3/8
目标：对方程两边关于y求偏导
对方程 x^n + y^n + z^n = a^n 两边关于y求偏导，得到 n y^{n-1} + n z^{n-1} z_y' = 0
公式：n y^{n-1} + n z^{n-1} z_y' = 0
提示：类似步骤1
步骤 4/8
目标：解出z_y'
由 n y^{n-1} + n z^{n-1} z_y' = 0，得 z_y' = - (y^{n-1})/(z^{n-1}) = - (y/z)^{n-1}
公式：z_y' = - (y/z)^{n-1}
步骤 5/8
目标：对方程两边关于x求偏导，处理隐函数
对方程 x+y+z = e^{x+y+z} 两边关于x求偏导，得到 1 + z_x' = e^{x+y+z} (1 + z_x')
公式：1 + z_x' = e^{x+y+z} (1 + z_x')
提示：注意指数函数求导时链式法则
步骤 6/8
目标：解出z_x'
由 1 + z_x' = e^{x+y+z} (1 + z_x')，移项得 (1 + z_x')(1 - e^{x+y+z}) = 0。由于 e^{x+y+z} ≠ 1（否则原方程变为 x+y+z=1，但方程是 x+y+z = e^{x+y+z}，若 e^{x+y+z}=1，则 x+y+z=0，矛盾？实际上可能成立？但通常假设不恒等于1），所以 1 + z_x' = 0，即 z_x' = -1
公式：z_x' = -1
提示：注意检查特殊情况，但一般解为-1
步骤 7/8
目标：对方程两边关于y求偏导
对方程 x+y+z = e^{x+y+z} 两边关于y求偏导，得到 1 + z_y' = e^{x+y+z} (1 + z_y')
公式：1 + z_y' = e^{x+y+z} (1 + z_y')
提示：类似步骤5
步骤 8/8
目标：解出z_y'
由 1 + z_y' = e^{x+y+z} (1 + z_y')，得 (1 + z_y')(1 - e^{x+y+z}) = 0，所以 1 + z_y' = 0，即 z_y' = -1
公式：z_y' = -1
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。