kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第292题
📝 题目
### 第292题
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $P(1)$ 分布，则 $P\{X=1 \mid X+Y=2\}$ 的值为 （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$X+Y\sim P(2)$，$\displaystyle P\{X+Y=2\}=\frac{2^2}{2!}\mathrm{e}^{-2}=2\mathrm{e}^{-2}$。 步骤2：$P\{X=1,X+Y=2\}=P\{X=1,Y=1\}=(\mathrm{e}^{-1})\cdot(\mathrm{e}^{-1})=\mathrm{e}^{-2}$。 步骤3：$\displaystyle P\{X=1\mid X+Y=2\}=\frac{\mathrm{e}^{-2}}{2\mathrm{e}^{-2}}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定X+Y的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立且均服从参数为 $1$ 的泊松分布 $P(1)$，根据泊松分布的可加性，$X+Y$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布 $P(2)$。因此，$P\{X+Y=2\} = \frac{2^2}{2!} e^{-2} = 2e^{-2}$。
公式：$$P\{X+Y=n\} = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}$$
提示：注意泊松分布可加性条件：独立同参数
步骤 2/4
目标：计算联合概率
事件 $\{X=1, X+Y=2\}$ 等价于 $\{X=1, Y=1\}$。由于 $X$ 和 $Y$ 独立，$P\{X=1, Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \left(\frac{1^1}{1!} e^{-1}\right) \cdot \left(\frac{1^1}{1!} e^{-1}\right) = e^{-1} \cdot e^{-1} = e^{-2}$。
公式：$$P\{X=1, Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \left(\frac{1^1}{1!} e^{-1}\right) \cdot \left(\frac{1^1}{1!} e^{-1}\right) = e^{-2}$$
提示：注意独立事件概率相乘
步骤 3/4
目标：应用条件概率公式
条件概率 $P\{X=1 \mid X+Y=2\} = \frac{P\{X=1, X+Y=2\}}{P\{X+Y=2\}} = \frac{e^{-2}}{2e^{-2}} = \frac{1}{2}$。
提示：注意条件概率的分子是联合概率
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，$P\{X=1 \mid X+Y=2\} = \frac{1}{2}$，对应选项（A）。
公式：$$P\{X=1 \mid X+Y=2\} = \frac{P\{X=1, X+Y=2\}}{P\{X+Y=2\}} = \frac{P\{X=1\}P\{Y=1\}}{P\{X+Y=2\}}$$
提示：注意泊松分布可加性及条件概率公式
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