kaoyan1advanced 线性代数 第181题
📝 题目
### 第181题
f(x)=$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & x & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x-2 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-2$ **解析**：步骤1：计算行列式，观察含 $x^3$ 的项。将行列式按第一行展开或直接利用行列式定义，含 $x^3$ 的项来自 $(-1)^{1+4}x\cdot M_{14}$ 等。 步骤2：计算得 $x^3$ 的系数为 $-2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定含$x^3$项的选取方式
根据行列式的定义，$x^3$项只能来自不同行不同列元素乘积中恰好包含三个$x$的项。观察矩阵，第一行第三列、第一行第四列、第二行第三列、第三行第二列有$x$，其余位置为常数。因此，含$x^3$的项必须选取三个含$x$的位置，且这些位置的行列互不相同。
提示：注意不同行不同列且恰好三个x
步骤 2/3
目标：计算乘积与系数
可能的选取方式：选取第一行第三列、第一行第四列、第二行第三列、第三行第二列中的三个，但需保证行列不重复。经分析，唯一可能产生$x^3$的选取是：第一行第四列（$x$）、第二行第三列（$x$）、第三行第二列（$x$），再补上第四行第一列（$x-2$中的常数项$-2$，因为若取$x$则变成$x^4$）。此时四个元素为：$a_{14}=x$，$a_{23}=x$，$a_{32}=x$，$a_{41}=x-2$，乘积为$x \cdot x \cdot x \cdot (x-2) = x^4 - 2x^3$，其中$x^3$项系数为$-2$。
提示：注意选取元素时行列不重复，且避免产生更高次项。
步骤 3/3
目标：确定符号并得出最终系数
该选取对应的排列为$(4,3,2,1)$，逆序数为$\binom{4}{2}=6$，故符号为$(-1)^6=1$。因此该项为$1 \cdot (-2x^3) = -2x^3$。其他选取方式要么产生$x^4$或更高次项，要么不含$x^3$，故$x^3$的系数为$-2$。
公式：$$\tau(4,3,2,1)=\binom{4}{2}=6,\ (-1)^6=1$$
提示：注意逆序数计算和符号判断
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