kaoyan1advanced 线性代数 第208题
📝 题目
### 第208题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=3$ ，则 $|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$ （A）-4 ． （B） 9 ． （C） 16 ． （D）-9 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$得$\boldsymbol{A}$特征值满足$\lambda^2+2\lambda=0$，即$\lambda=0$或$-2$。步骤2：$|\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{E}|=3$，则特征值$\lambda+3$的乘积为$3$，设$\boldsymbol{A}$特征值为$0,0,-2$或$0,-2,-2$等，计算乘积：若三个特征值为$0,0,-2$，则$|\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{E}|=(0+3)(0+3)(-2+3)=9$，不符；若为$0,-2,-2$，则$3\times1\times1=3$，符合。故$\boldsymbol{A}$特征值为$0,-2,-2$。步骤3：$2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$特征值为$2\times0+1=1$，$2\times(-2)+1=-3$，$-3$，故$|2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=1\times(-3)\times(-3)=9$。选项B为$9$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由已知条件推导特征值方程
已知 $\boldsymbol{A}^2 + 2\boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$，设 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则 $\lambda$ 满足 $\lambda^2 + 2\lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -2$。因此 $\boldsymbol{A}$ 的特征值只能是 $0$ 或 $-2$。
公式：$$\lambda^2 + 2\lambda = 0$$
提示：注意特征值方程推导条件
步骤 2/4
目标：利用行列式条件确定特征值分布
已知 $|\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{E}| = 3$。若 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则 $\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $\lambda_i + 3$，且 $|\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{E}| = (\lambda_1+3)(\lambda_2+3)(\lambda_3+3) = 3$。
考虑可能的特征值组合：
- 若三个特征值为 $0,0,-2$，则乘积为 $(0+3)(0+3)(-2+3) = 3 \times 3 \times 1 = 9 \neq 3$，不符合。
- 若三个特征值为 $0,-2,-2$，则乘积为 $(0+3)(-2+3)(-2+3) = 3 \times 1 \times 1 = 3$，符合。
因此 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0, -2, -2$。
公式：$$|\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{E}| = (\lambda_1+3)(\lambda_2+3)(\lambda_3+3) = 3$$
提示：注意特征值乘积与行列式的关系
步骤 3/4
目标：计算目标矩阵的特征值
要求 $|2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}|$。若 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则 $2\lambda + 1$ 是 $2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}$ 的特征值。
- 对于 $\lambda = 0$，得 $2 \times 0 + 1 = 1$。
- 对于 $\lambda = -2$，得 $2 \times (-2) + 1 = -3$。
因此 $2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}$ 的特征值为 $1, -3, -3$。
公式：$$2\lambda + 1$$
提示：注意特征值的重数
步骤 4/4
目标：计算行列式并得出答案
行列式等于特征值的乘积：
$$|2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}| = 1 \times (-3) \times (-3) = 9.$$
故答案为 $9$，对应选项（B）。
公式：$$|2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}| = \prod \lambda_i$$
提示：注意特征值乘积计算顺序
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