kaoyan1advanced 线性代数 第226题

设 $\boldsymbol{x}$ 是方程组（I）的解，即 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$。则 $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \mathbf{0} = \mathbf{0}$，所以 $\boldsymbol{x}$ 也是方程组（II）的解。因此命题（1）正确。

设 $\boldsymbol{x}$ 是方程组（II）的解，即 $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$。由于 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，其最小多项式次数不超过 $n$，因此存在次数不超过 $n$ 的多项式 $f(\lambda)$ 使得 $f(\boldsymbol{A}) = \mathbf{0}$。特别地，$\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 意味着 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}$ 属于 $\boldsymbol{A}$ 的零空间，但由 $\boldsymbol{A}$ 的零化多项式性质可知，$\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 必然成立（因为若 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$，则 $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}) = \mathbf{0}$ 会导致 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值0的特征向量，但 $\boldsymbol{A}$ 的幂次零指数不超过 $n$，矛盾）。更严谨地，考虑 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形，$\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 蕴含 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$，因为 $\boldsymbol{A}$ 的幂零指数不超过 $n$。因此命题（2）正确。

由步骤1和步骤2可知，方程组（I）和（II）的解集相同，即（I）的解必是（II）的解，且（II）的解必是（I）的解。因此命题（3）“（I）的解不是（II）的解”错误，命题（4）“（II）的解不是（I）的解”也错误。

正确的命题是（1）和（2），对应选项（A）。