kaoyan1basic 高等数学 第9题

**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：分析极限形式。当 $x \to 0$ 时，分子积分区间 $[x^2, x]$ 趋于 $[0, 0]$，且被积函数 $\frac{\sin(xt)}{t}$ 在 $t=0$ 处有可去奇点（$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(xt)}{t} = x$），因此分子为无穷小量，分母 $x^2$ 也为无穷小量，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。 步骤2：利用积分中值定理或直接估计。由于被积函数 $\frac{\sin(xt)}{t}$ 关于 $t$ 连续（补充定义 $t=0$ 处值为 $x$），由积分中值定理，存在 $\xi \in [x^2, x]$（当 $x>0$ 时，区间为正；当 $x<0$ 时类似，但极限仅考虑 $x \to 0$，可假设 $x$ 充分小且正），使得 $$ \int_{x^2}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \, dt = \frac{\sin(x\xi)}{\xi} \cdot (x - x^2). $$ 步骤3：代入极限表达式： $$ I = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(x\xi)}{\xi} \cdot (x - x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x\xi)}{\xi} \cdot \frac{x - x^2}{x^2}. $$ 由于 $\xi \in [x^2, x]$，当 $x \to 0$ 时，$\xi \to 0$，且 $x\xi \to 0$，故 $\sin(x\xi) \sim x\xi$，因此 $\frac{\sin(x\xi)}{\xi} \sim x$。于是 $$ \frac{\sin(x\xi)}{\xi} \cdot \frac{x - x^2}{x^2} \sim x \cdot \frac{x(1-x)}{x^2} = 1 - x \to 1. $$ 但注意：上述估计中 $\xi$ 依赖于 $x$，且 $\frac{\sin(x\xi)}{\xi}$ 并非精确等于 $x$，而是趋于 $x$，需更严谨处理。 步骤4：改用夹逼准则。对任意 $t \in [x^2, x]$（设 $x>0$ 充分小），有 $0 < x^2 \le t \le x$，则 $$ \frac{\sin(xt)}{t} \le \frac{xt}{t} = x \quad (\text{因为 } \sin u \le u), $$ 且 $$ \frac{\sin(xt)}{t} \ge \frac{xt - (xt)^3/6}{t} = x - \frac{x^3 t^2}{6} \ge x - \frac{x^5}{6}. $$ 因此 $$ \left( x - \frac{x^5}{6} \right)(x - x^2) \le \int_{x^2}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \, dt \le x (x - x^2). $$ 步骤5：除以 $x^2$ 得： $$ \left( x - \frac{x^5}{6} \right) \frac{x - x^2}{x^2} \le \frac{\int_{x^2}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \, dt}{x^2} \le x \cdot \frac{x - x^2}{x^2}. $$ 即 $$ \left( 1 - \frac{x^4}{6} \right)(1 - x) \le I(x) \le 1 - x. $$ 当 $x \to 0$ 时，左右两端均趋于 $1$，由夹逼准则得 $I = 1$。 **注意**：上述推导有误，实际上正确极限应为 $0$。重新审视：当 $x \to 0$ 时，积分区间长度 $x - x^2 \sim x$，而被积函数最大值约为 $x$，故分子量级为 $x \cdot x = x^2$，与分母 $x^2$ 同阶，但需精确计算。 步骤6：正确解法：令 $u = xt$，则 $t = u/x$，$dt = du/x$，积分限：当 $t = x^2$ 时，$u = x^3$；当 $t = x$ 时，$u = x^2$。于是 $$ \int_{x^2}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \, dt = \int_{x^3}^{x^2} \frac{\sin u}{u/x} \cdot \frac{du}{x} = \int_{x^3}^{x^2} \frac{\sin u}{u} \, du. $$ 因此 $$ I = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{x^3}^{x^2} \frac{\sin u}{u} \, du}{x^2}. $$ 步骤7：由于 $\frac{\sin u}{u} \to 1$ 当 $u \to 0$，且积分区间长度 $|x^2 - x^3| \sim x^2$，故分子 $\sim 1 \cdot (x^2 - x^3) = x^2 - x^3$，所以 $$ I = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x^3 + o(x^2)}{x^2} = 1. $$ 但注意：此处积分下限 $x^3$ 比上限 $x^2$ 更小（当 $x>0$ 且 $x<1$ 时，$x^3 < x^2$），故积分值为正，且精确计算： $$ \int_{x^3}^{x^2} \frac{\sin u}{u} \, du = \int_{0}^{x^2} \frac{\sin u}{u} \, du - \int_{0}^{x^3} \frac{\sin u}{u} \, du. $$ 利用 $\int_0^y \frac{\sin u}{u} du = y - \frac{y^3}{18} + o(y^3)$，则 $$ \int_{x^3}^{x^2} \frac{\sin u}{u} du = (x^2 - \frac{x^6}{18} + \cdots) - (x^3 - \frac{x^9}{18} + \cdots) = x^2 - x^3 + o(x^3). $$ 因此 $I = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x^3 + o(x^3)}{x^2} = 1$。 **最终答案**：$1$ **难度**：★★★☆☆