kaoyan1basic 高等数学 第20题

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📝 题目

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $|x| \leqslant 1$ ，求积分 $I(x)=\int_{-1}^{1}|t-x| \mathrm{e}^{2 t} \mathrm{~d} t$ 的最大值．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{e^2-e^{-2}}{2}$ **解析**： 步骤1：$I(x)=\int_{-1}^{1}|t-x|e^{2t}\mathrm{d}t$，分段：当$x\in[-1,1]$时， $I(x)=\int_{-1}^{x}(x-t)e^{2t}\mathrm{d}t + \int_{x}^{1}(t-x)e^{2t}\mathrm{d}t$。 步骤2：计算得$\int_{-1}^{x}(x-t)e^{2t}\mathrm{d}t = x\int_{-1}^{x}e^{2t}\mathrm{d}t - \int_{-1}^{x}t e^{2t}\mathrm{d}t$，同理另一部分。 步骤3：求导$\displaystyle I'(x)=\int_{-1}^{x}e^{2t}\mathrm{d}t - \int_{x}^{1}e^{2t}\mathrm{d}t = \frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2}) - \frac{1}{2}(e^{2}-e^{2x}) = e^{2x} - \frac{e^2+e^{-2}}{2}$，令$I'(x)=0$得$\displaystyle x=\frac{1}{2}\ln\frac{e^2+e^{-2}}{2}$，在$[-1,1]$内，比较端点值：$I(-1)=\int_{-1}^{1}(t+1)e^{2t}\mathrm{d}t$，$I(1)=\int_{-1}^{1}(1-t)e^{2t}\mathrm{d}t$，计算得最大值在端点，$\displaystyle I(1)=\frac{e^2-e^{-2}}{2}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将积分按绝对值分段表示
由于被积函数含有绝对值|t-x|，且积分区间为[-1,1]，x在[-1,1]内，因此将积分区间分为[-1,x]和[x,1]两段，去掉绝对值符号： I(x)=∫_{-1}^{x}(x-t)e^{2t}dt + ∫_{x}^{1}(t-x)e^{2t}dt。
公式：|t-x| = { x-t, t≤x; t-x, t≥x }
提示：注意x的取值范围为[-1,1]
步骤 2/4
目标：计算两个积分表达式
分别计算两个积分： ∫_{-1}^{x}(x-t)e^{2t}dt = x∫_{-1}^{x}e^{2t}dt - ∫_{-1}^{x}te^{2t}dt， ∫_{x}^{1}(t-x)e^{2t}dt = ∫_{x}^{1}te^{2t}dt - x∫_{x}^{1}e^{2t}dt。 利用分部积分法计算∫te^{2t}dt = (t/2 - 1/4)e^{2t} + C，以及∫e^{2t}dt = (1/2)e^{2t} + C。
公式：∫te^{2t}dt = (t/2 - 1/4)e^{2t} + C
提示：分部积分时注意符号
步骤 3/4
目标：求导I(x)并求驻点
对I(x)求导，利用莱布尼茨公式： I'(x) = (x-x)e^{2x}·1 - 0 + ∫_{-1}^{x}e^{2t}dt - [ (x-x)e^{2x}·1 - 0 ] - ∫_{x}^{1}e^{2t}dt = ∫_{-1}^{x}e^{2t}dt - ∫_{x}^{1}e^{2t}dt。 计算得：∫_{-1}^{x}e^{2t}dt = (1/2)(e^{2x}-e^{-2})，∫_{x}^{1}e^{2t}dt = (1/2)(e^{2}-e^{2x})， 所以I'(x) = (1/2)(e^{2x}-e^{-2}) - (1/2)(e^{2}-e^{2x}) = e^{2x} - (e^{2}+e^{-2})/2。 令I'(x)=0，得e^{2x} = (e^{2}+e^{-2})/2，即x = (1/2)ln((e^{2}+e^{-2})/2)。
公式：I'(x) = e^{2x} - (e^{2}+e^{-2})/2
提示：注意求导时上下限的贡献
步骤 4/4
目标：比较端点值确定最大值
由于驻点x0 = (1/2)ln((e^{2}+e^{-2})/2)在[-1,1]内，但计算端点值： I(-1)=∫_{-1}^{1}(t+1)e^{2t}dt，I(1)=∫_{-1}^{1}(1-t)e^{2t}dt。 计算I(1)：∫_{-1}^{1}(1-t)e^{2t}dt = ∫_{-1}^{1}e^{2t}dt - ∫_{-1}^{1}te^{2t}dt = (1/2)(e^{2}-e^{-2}) - 0 = (e^{2}-e^{-2})/2。 类似地，I(-1)=∫_{-1}^{1}(t+1)e^{2t}dt = ∫_{-1}^{1}te^{2t}dt + ∫_{-1}^{1}e^{2t}dt = 0 + (e^{2}-e^{-2})/2 = (e^{2}-e^{-2})/2。 因此最大值在端点取得，为(e^{2}-e^{-2})/2。
公式：I(1)=I(-1)=(e^{2}-e^{-2})/2
提示：注意∫_{-1}^{1}te^{2t}dt=0，因为被积函数为奇函数

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