kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\sin t| \mathrm{d} t(x \geqslant 0)$ 在 $x \rightarrow 0^{+}$处的 2 次泰勒多项式为 $a+b x+c x^{2}$ ，求 $a$ ， $b, c$ 的值．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a=1, b=0, c=-\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle F(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \sin t| dt$。当$x\to0^+$时，$x$很小，$\sin x \approx x$，且$\sin t \ge 0$于$[0,\pi/2]$。分区间：$t\in[0,x]$时，$\sin t \le \sin x$，$|\sin x - \sin t| = \sin x - \sin t$；$t\in[x,\pi/2]$时，$\sin t \ge \sin x$，$|\sin x - \sin t| = \sin t - \sin x$。 步骤2：$\displaystyle F(x)=\int_0^x (\sin x - \sin t) dt + \int_x^{\pi/2} (\sin t - \sin x) dt = x\sin x - (1-\cos x) + (\cos x - \sin x(\frac{\pi}{2}-x))$。化简：$\displaystyle F(x)=x\sin x -1+\cos x + \cos x - \frac{\pi}{2}\sin x + x\sin x = 2x\sin x + 2\cos x -1 - \frac{\pi}{2}\sin x$。 步骤3：展开为泰勒级数。$\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{6}+O(x^5)$，$\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2}+O(x^4)$。代入：$\displaystyle 2x(x - \frac{x^3}{6}) + 2(1 - \frac{x^2}{2}) -1 - \frac{\pi}{2}(x - \frac{x^3}{6}) = 2x^2 - \frac{x^4}{3} + 2 - x^2 -1 - \frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{12}x^3 = 1 - \frac{\pi}{2}x + x^2 + \frac{\pi}{12}x^3 - \frac{x^4}{3}$。二次泰勒多项式为$\displaystyle 1 - \frac{\pi}{2}x + x^2$，故$\displaystyle a=1, b=-\frac{\pi}{2}, c=1$。但题目中$x\to0^+$，且$F(x)$定义$x\ge0$，结果正确。 **难度**：★★★★☆