kaoyan1basic 高等数学 第35题
📝 题目
### 【基础篇】第35题（填空题） 35． $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}+2 x-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle dx=-\frac{1}{t^2}dt$，积分变为$\displaystyle \int_{1}^{0}\frac{-1/t^2}{(1/t)\sqrt{1/t^2+2/t-1}}dt = \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+2t-t^2}}dt$。 步骤2：分母$\sqrt{1+2t-t^2}=\sqrt{2-(t-1)^2}$，故积分$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{2-(t-1)^2}} = \arcsin\frac{t-1}{\sqrt{2}}\Big|_{0}^{1} = \arcsin 0 - \arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：通过倒代换简化积分
令 x = 1/t，则 dx = -1/t^2 dt，当 x=1 时 t=1，当 x→+∞ 时 t→0+。积分变为 ∫_{1}^{0} (-1/t^2) / ( (1/t) √(1/t^2 + 2/t - 1) ) dt = ∫_{0}^{1} 1/√(1+2t-t^2) dt。
公式：x = 1/t, dx = -1/t^2 dt
提示：倒代换常用于处理分母含 x 的高次幂或根号下含 x^2 的情况。
步骤 2/2
目标：将分母配方并积分
分母 √(1+2t-t^2) = √(2 - (t-1)^2)，所以积分 = ∫_{0}^{1} dt/√(2-(t-1)^2) = arcsin((t-1)/√2) |_{0}^{1} = arcsin(0) - arcsin(-1/√2) = 0 - (-π/4) = π/4。
公式：∫ du/√(a^2 - u^2) = arcsin(u/a) + C
提示：注意 arcsin(-1/√2) = -π/4。
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