kaoyan1basic 高等数学 第22题

**答案**：$\displaystyle V=\frac{2}{3}\pi a^3$；$S=2\pi a^2+\pi a^2+\pi a^2=4\pi a^2$（修正：$S=2\pi a^2+\pi a^2+\pi a^2=4\pi a^2$，实际计算：侧面积$2\pi a^2$，上底$\pi(\sqrt{2}a)^2=2\pi a^2$，下底$\pi a^2$，总和$5\pi a^2$）。 **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=0, y=a, x=0, x=\sqrt{a^2+y^2}$围成，绕$y$轴旋转，体积$\displaystyle V=\int_0^a \pi x^2 dy=\int_0^a \pi (a^2+y^2) dy=\pi\left[a^2y+\frac{y^3}{3}\right]_0^a=\pi\left(a^3+\frac{a^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi a^3$。 步骤2：侧面积由曲线$x=\sqrt{a^2+y^2}$绕$y$轴旋转得到，$S_{\text{侧}}=\int_0^a 2\pi x \sqrt{1+(dx/dy)^2}dy$，$\displaystyle dx/dy=\frac{y}{\sqrt{a^2+y^2}}$，$\displaystyle \sqrt{1+(dx/dy)^2}=\sqrt{1+\frac{y^2}{a^2+y^2}}=\sqrt{\frac{a^2+2y^2}{a^2+y^2}}$，故$\displaystyle S_{\text{侧}}=\int_0^a 2\pi \sqrt{a^2+y^2} \cdot \frac{\sqrt{a^2+2y^2}}{\sqrt{a^2+y^2}} dy=2\pi \int_0^a \sqrt{a^2+2y^2} dy$，令$\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{2}}\tan t$，得$\displaystyle S_{\text{侧}}=2\pi \cdot \frac{a^2}{\sqrt{2}}\int_0^{\arctan\sqrt{2}} \sec^3 t dt$，计算得$S_{\text{侧}}=2\pi a^2$。 步骤3：下底为圆盘$x=0$处，半径为$0$？实际下底是$y=0$时$x$从$0$到$a$，旋转得半径为$a$的圆，面积$\pi a^2$；上底是$y=a$时$x$从$0$到$\sqrt{2}a$，旋转得半径为$\sqrt{2}a$的圆，面积$2\pi a^2$。故总表面积$S=2\pi a^2+\pi a^2+2\pi a^2=5\pi a^2$。 **难度**：★★★☆☆