kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设有半圆形板：$x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}(y \geqslant 0)$ ，它在点 $P(x, y)$ 的密度与点 $P$ 到原点的距离成正比，则半圆形板的重心坐标为（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{\pi a}{3}\right)$ （B）$\displaystyle \left(0, \frac{\pi a}{2}\right)$ （C）$\displaystyle \left(0, \frac{4 a}{3 \pi}\right)$ （D）$\displaystyle \left(0, \frac{3 a}{2 \pi}\right)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：密度$\rho(x,y) = k \sqrt{x^2+y^2}$，半圆$y \geq 0$，半径$a$。由对称性，重心横坐标$\bar{x}=0$。纵坐标$\displaystyle \bar{y} = \frac{\iint_D y \rho d\sigma}{\iint_D \rho d\sigma}$。极坐标：$r$从$0$到$a$，$\theta$从$0$到$\pi$。分子：$\displaystyle \int_0^\pi \int_0^a (r \sin\theta) (k r) \cdot r dr d\theta = k \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^a r^3 dr = k \cdot 2 \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{k a^4}{2}$。分母：$\displaystyle \int_0^\pi \int_0^a k r \cdot r dr d\theta = k \int_0^\pi d\theta \int_0^a r^2 dr = k \cdot \pi \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{k \pi a^3}{3}$。故$\displaystyle \bar{y} = \frac{k a^4 / 2}{k \pi a^3 / 3} = \frac{3a}{2\pi}$。选项C为$\displaystyle \left(0, \frac{4a}{3\pi}\right)$，D为$\displaystyle \left(0, \frac{3a}{2\pi}\right)$，故正确答案为D。但题目选项C是$\displaystyle \left(0, \frac{4a}{3\pi}\right)$，D是$\displaystyle \left(0, \frac{3a}{2\pi}\right)$，计算得$\displaystyle \frac{3a}{2\pi}$，选D。注意检查：半圆面积$\displaystyle \frac12 \pi a^2$，密度与距离成正比，重心应偏上，$\displaystyle \frac{3a}{2\pi} \approx 0.477a$，合理。故答案选D。 **难度**：★★☆☆☆