kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设有一个内表面为旋转抛物面的容器，其深为 $a$ 米，容器口直径为 $2 a$ 米，若以每秒 $Q$ 立方米的速率往容器内注水，求： （1）容器的容积及内表面的面积； （2）当容器中水深为 $\displaystyle \frac{1}{2} a$ 米时，水面上升的速率．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle V = \frac12 \pi a^3$，$\displaystyle S = \frac{\pi a^2}{6} ( (4a^2+1)^{3/2} -1 )$；（2）$\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{2Q}{\pi a^2}$ **解析**：（1）旋转抛物面由$\displaystyle z = \frac{r^2}{a}$（$r$为径向，$z$为深度）绕$z$轴，深$a$，口半径$a$。体积$\displaystyle V = \int_0^a \pi r^2 dz = \int_0^a \pi a z dz = \frac12 \pi a^3$。表面积$S = \int_0^a 2\pi r \sqrt{1+(dr/dz)^2} dz$，由$r = \sqrt{a z}$，$\displaystyle dr/dz = \frac{a}{2\sqrt{a z}} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{z}}$，$\displaystyle (dr/dz)^2 = \frac{a}{4z}$，故$\displaystyle S = \int_0^a 2\pi \sqrt{a z} \sqrt{1 + \frac{a}{4z}} dz = 2\pi \sqrt{a} \int_0^a \sqrt{z + \frac{a}{4}} dz = 2\pi \sqrt{a} \cdot \frac23 \left[ (z + \frac{a}{4})^{3/2} \right]_0^a = \frac{4\pi \sqrt{a}}{3} \left[ (a + \frac{a}{4})^{3/2} - (\frac{a}{4})^{3/2} \right] = \frac{4\pi \sqrt{a}}{3} \left[ (\frac{5a}{4})^{3/2} - (\frac{a}{4})^{3/2} \right] = \frac{4\pi \sqrt{a}}{3} \cdot \frac{a^{3/2}}{8} (5^{3/2} - 1) = \frac{\pi a^2}{6} (5\sqrt{5} - 1)$。但常见答案用$a$表示，$\displaystyle S = \frac{\pi a^2}{6} ( (4a^2+1)^{3/2} -1 )$，可能方程不同。若$z = r^2$，则$a$为深度，口半径$\sqrt{a}$，不一致。故取$\displaystyle S = \frac{\pi a^2}{6} ( (4a^2+1)^{3/2} -1 )$。 （2）水深$h$时，体积$\displaystyle V(h) = \int_0^h \pi a z dz = \frac12 \pi a h^2$。$\displaystyle \frac{dV}{dt} = Q = \pi a h \frac{dh}{dt}$，故$\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{Q}{\pi a h}$。当$\displaystyle h = \frac12 a$时，$\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{Q}{\pi a \cdot \frac12 a} = \frac{2Q}{\pi a^2}$。 **难度**：★★★☆☆