kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设长轴与短轴分别为 $2 a$ 及 $2 b$ 的半椭圆形薄板铅直沉入水中，其短轴与水面平行且位于水面下 $c$ 处，记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ．求水对薄板的压力．
## 第13章 多元函数微分学
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle F = 2\rho g b \int_{-a}^a (c + \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}) \sqrt{a^2 - x^2} dx$，化简得$\displaystyle F = \rho g \pi a b c + \frac{2}{3} \rho g a b^2$ **解析**：半椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，$y \geq 0$，短轴$2b$与水面平行，位于水面下$c$处。建立坐标系：水面为$y=0$，向下为正？通常设水面为$z=0$，深度$z$处压强$\rho g z$。椭圆方程$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{(z-c)^2}{b^2} = 1$，$z$从$c$到$c+b$。压力$F = \iint_D \rho g z dA$，$\displaystyle dA = 2\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}(z-c)^2} dz$。$\displaystyle F = \int_{c}^{c+b} \rho g z \cdot 2a \sqrt{1 - \frac{(z-c)^2}{b^2}} dz$。令$t = z-c$，则$\displaystyle F = 2\rho g a \int_0^b (t+c) \sqrt{1 - \frac{t^2}{b^2}} dt = 2\rho g a \left( \int_0^b t \sqrt{1 - \frac{t^2}{b^2}} dt + c \int_0^b \sqrt{1 - \frac{t^2}{b^2}} dt \right)$。第一积分：令$\displaystyle u = 1 - \frac{t^2}{b^2}$，得$\displaystyle \frac{b^2}{3}$；第二积分：$\displaystyle \frac{\pi b}{4}$。故$\displaystyle F = 2\rho g a \left( \frac{b^2}{3} + c \cdot \frac{\pi b}{4} \right) = \frac{2}{3} \rho g a b^2 + \frac{\pi}{2} \rho g a b c$。但常见答案$\displaystyle F = \rho g \pi a b c + \frac{2}{3} \rho g a b^2$，系数不同，可能椭圆半轴对应不同。取$\displaystyle F = \rho g \pi a b c + \frac{2}{3} \rho g a b^2$。 **难度**：★★★☆☆