kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x, y)=|x|+y|y|$ ，则 $\quad)$ ． （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在 （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在 （C）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在 （D）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$f(x,y) = |x| + y|y|$。$\displaystyle f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h| + 0 - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|}{h}$，不存在。$\displaystyle f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0 + k|k| - 0}{k} = \lim_{k\to 0} |k| = 0$，存在。故$f_x'(0,0)$不存在，$f_y'(0,0)$存在，选C。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算f_x'(0,0)是否存在
由偏导数定义，f_x'(0,0)=lim_{h→0} [f(h,0)-f(0,0)]/h。代入f(h,0)=|h|+0*|0|=|h|，f(0,0)=0，得极限lim_{h→0} |h|/h。该极限不存在，因为左极限为-1，右极限为1。
公式：f_x'(0,0)=lim_{h→0} (|h|)/h
提示：注意绝对值函数在0处不可导。
步骤 2/3
目标：计算f_y'(0,0)是否存在
由偏导数定义，f_y'(0,0)=lim_{k→0} [f(0,k)-f(0,0)]/k。代入f(0,k)=0+k|k|=k|k|，f(0,0)=0，得极限lim_{k→0} k|k|/k = lim_{k→0} |k| = 0，存在。
公式：f_y'(0,0)=lim_{k→0} |k|
提示：注意k|k|/k = |k|，当k≠0时。
步骤 3/3
目标：得出结论
f_x'(0,0)不存在，f_y'(0,0)存在，故选C。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。