kaoyan1basic 高等数学 第15题

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📝 题目

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $f(u)=\ln u, u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial z^{2}}$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2+z^2}$ **解析**： 步骤1：$f(u)=\ln u$，$u=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\displaystyle f(u)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^2+y^2+z^2}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{(x^2+y^2+z^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{y^2+z^2 - x^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}$。 步骤3：同理，$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{x^2+z^2 - y^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{x^2+y^2 - z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}$。 步骤4：求和得$\displaystyle \frac{(y^2+z^2-x^2)+(x^2+z^2-y^2)+(x^2+y^2-z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2+z^2}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：化简复合函数表达式
由 f(u)=ln u 且 u=√(x²+y²+z²)，得 f(u)=ln√(x²+y²+z²)=½ln(x²+y²+z²)。
公式：ln√A = ½ln A
提示：利用对数性质简化计算。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导数 ∂f/∂x
对 x 求偏导：∂f/∂x = ½ * (2x)/(x²+y²+z²) = x/(x²+y²+z²)。
公式：∂/∂x [½ln(x²+y²+z²)] = x/(x²+y²+z²)
提示：注意链式法则。
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数 ∂²f/∂x²
对 ∂f/∂x 再求 x 的偏导：∂²f/∂x² = [(x²+y²+z²) - x·2x]/(x²+y²+z²)² = (y²+z²-x²)/(x²+y²+z²)²。
公式：∂/∂x [x/(x²+y²+z²)] = (y²+z²-x²)/(x²+y²+z²)²
提示：使用商的导数公式。
步骤 4/5
目标：由对称性写出 ∂²f/∂y² 和 ∂²f/∂z²
由对称性：∂²f/∂y² = (x²+z²-y²)/(x²+y²+z²)²，∂²f/∂z² = (x²+y²-z²)/(x²+y²+z²)²。
公式：∂²f/∂y² = (x²+z²-y²)/(x²+y²+z²)²，∂²f/∂z² = (x²+y²-z²)/(x²+y²+z²)²
提示：变量轮换可得。
步骤 5/5
目标：求和得到拉普拉斯算子
将三个二阶偏导数相加：[(y²+z²-x²)+(x²+z²-y²)+(x²+y²-z²)]/(x²+y²+z²)² = (x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)² = 1/(x²+y²+z²)。
公式：∂²f/∂x²+∂²f/∂y²+∂²f/∂z² = 1/(x²+y²+z²)
提示：分子相加后化简。

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