kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x, y)$ 在平面有界闭区域 $D$ 上具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}>0$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ ，则（ ）。 （A）$f(x, y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的内部 （B）$f(x, y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的边界上 （C）$f(x, y)$ 的最小值点在 $D$ 的内部，最大值点在 $D$ 的边界上 （D）$f(x, y)$ 的最大值点在 $D$ 的内部，最小值点在 $D$ 的边界上
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}>0$知$f$的混合偏导恒正，$f$不是调和函数，但由$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$知$f$是调和函数。 步骤2：在有界闭区域上，调和函数的最大值和最小值只能在边界上取得（极值原理）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析条件，判断函数类型
由 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} > 0$ 和 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ 可知，$f$ 是调和函数（满足拉普拉斯方程），且混合偏导恒正。
公式：$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$
提示：注意调和函数的定义：二阶偏导平方和为零。
步骤 2/3
目标：应用极值原理
对于有界闭区域上的调和函数，其最大值和最小值只能在边界上取得，不能在内部取得（除非是常数函数，但这里混合偏导大于0，非常数）。
公式：极值原理
提示：极值原理是调和函数的重要性质。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，$f(x,y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的边界上。
提示：选项B正确。
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