kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 【基础篇】第26题（解答题） 26．求 $\displaystyle f(x, y)=x^{4}-\frac{1}{12} x^{6}-2 x^{2} y-\frac{1}{2} y^{2}$ 的极值点．
💡 答案解析
**答案**：极小值点$(0,0)$，鞍点$(\pm1,?)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x,y)=x^4-\frac{1}{12}x^6-2x^2y-\frac{1}{2}y^2$，求偏导：$\displaystyle f_x=4x^3-\frac{1}{2}x^5-4xy$，$f_y=-2x^2-y$。 步骤2：由$f_y=0$得$y=-2x^2$，代入$f_x$：$\displaystyle 4x^3-\frac{1}{2}x^5-4x(-2x^2)=4x^3-\frac{1}{2}x^5+8x^3=12x^3-\frac{1}{2}x^5=0$，即$\displaystyle x^3(12-\frac{1}{2}x^2)=0$，得$x=0$或$x^2=24$，即$x=\pm2\sqrt{6}$。 步骤3：驻点：$(0,0)$，$(2\sqrt{6},-48)$，$(-2\sqrt{6},-48)$。 步骤4：二阶偏导：$\displaystyle f_{xx}=12x^2-\frac{5}{2}x^4-4y$，$f_{yy}=-1$，$f_{xy}=-4x$。 在$(0,0)$：$A=0, B=0, C=-1$，$AC-B^2=0$，需用更高阶判别。考虑$\displaystyle f(x,0)=x^4-\frac{1}{12}x^6$，在$x=0$附近，$f(x,0)\approx x^4>0$，而$\displaystyle f(0,y)=-\frac{1}{2}y^2\leq0$，故$(0,0)$不是极值点（鞍点）。 在$(2\sqrt{6},-48)$：$\displaystyle A=12\cdot24-\frac{5}{2}\cdot576-4(-48)=288-1440+192=-960$，$B=-4\cdot2\sqrt{6}=-8\sqrt{6}$，$C=-1$，$AC-B^2=(-960)(-1)-(-8\sqrt{6})^2=960-384=576>0$且$A<0$，故为极大值点。同理$(-2\sqrt{6},-48)$也为极大值点。 但题目要求极值点，故极大值点为$(\pm2\sqrt{6},-48)$，$(0,0)$不是极值点。 **难度**：★★★☆☆