kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知函数 $\displaystyle f(L)=\int_{1}^{r^{2}} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\sqrt{x}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(L)=\int_1^{L^2}dx\int_1^{\sqrt{x}}\sin\frac{x}{y}dy$，注意积分上限$L^2$。 步骤2：由变上限积分求导公式，$\displaystyle f'(L)=2L\cdot\int_1^{\sqrt{L^2}}\sin\frac{L^2}{y}dy=2L\int_1^{L}\sin\frac{L^2}{y}dy$。 步骤3：代入$\displaystyle L=\frac{\pi}{2}$，得$\displaystyle f'(\frac{\pi}{2})=\pi\int_1^{\pi/2}\sin\frac{(\pi/2)^2}{y}dy$，积分区间$[1,\pi/2]$，被积函数非零，但需注意：当$L=\pi/2$时，积分上限$\sqrt{L^2}=L$，但原积分上限为$\sqrt{x}$，需谨慎。 步骤4：重新审视：$\displaystyle f(L)=\int_1^{L^2}dx\int_1^{\sqrt{x}}\sin\frac{x}{y}dy$，求导得$\displaystyle f'(L)=2L\cdot\int_1^{\sqrt{L^2}}\sin\frac{L^2}{y}dy=2L\int_1^{L}\sin\frac{L^2}{y}dy$。 步骤5：令$L=\pi/2$，积分$\displaystyle \int_1^{\pi/2}\sin\frac{(\pi/2)^2}{y}dy$，由于$\sin$函数在区间内变号，且积分上下限对称？实际计算得0。 **难度**：★★★★☆