kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（填空题） 10． $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1}^{x} \frac{\tan y}{y} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-\ln\cos1$ **解析**： 步骤1：交换积分次序，原积分$\displaystyle \int_{0}^{1}dx\int_{1}^{x}\frac{\tan y}{y}dy$，积分区域$0\le x\le1$，$1\le y\le x$，但$y$下限大于上限，实际区域为$0\le y\le1$，$0\le x\le y$。 步骤2：交换后得$\displaystyle \int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}\frac{\tan y}{y}dx=\int_{0}^{1}\frac{\tan y}{y}\cdot y dy=\int_{0}^{1}\tan y dy$。 步骤3：$\int_{0}^{1}\tan y dy=-\ln\cos y\big|_{0}^{1}=-\ln\cos1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：交换积分次序
原积分 $\int_{0}^{1} dx \int_{1}^{x} \frac{\tan y}{y} dy$ 的积分区域由 $0 \le x \le 1$ 和 $1 \le y \le x$ 确定，但 $y$ 的下限大于上限，实际区域为 $0 \le y \le 1$，$0 \le x \le y$。交换次序得 $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{y} \frac{\tan y}{y} dx$。
提示：注意积分限的上下界，确保区域正确。
步骤 2/3
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_{0}^{y} \frac{\tan y}{y} dx = \frac{\tan y}{y} \cdot y = \tan y$。
公式：$\int_{0}^{y} dx = y$
提示：被积函数与 $x$ 无关，可直接提出。
步骤 3/3
目标：计算外层积分
外层积分 $\int_{0}^{1} \tan y dy = -\ln \cos y \big|_{0}^{1} = -\ln \cos 1$。
公式：$\int \tan y dy = -\ln |\cos y| + C$
提示：注意 $\cos 1 > 0$，绝对值可去掉。
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