kaoyan1basic 高等数学 第15题

**答案**：$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=|x|$和$y=1$围成，关于$y$轴对称，被积函数$\displaystyle \frac{x^{2}-x\cos y-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$，其中$x\cos y$为$x$的奇函数，积分为0。 步骤2：剩余$\displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$，利用极坐标，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$\displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\cos2\theta$。 步骤3：区域$D$在极坐标下，$y=|x|$对应$\displaystyle \theta=\pm\frac{\pi}{4}$，$y=1$对应$r\sin\theta=1$，$r=\csc\theta$，$\theta$从$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$到$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，$r$从0到$\csc\theta$。 步骤4：积分$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta d\theta\int_{0}^{\csc\theta}r dr=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\cdot\frac{1}{2}\csc^{2}\theta d\theta$。 步骤5：利用对称性，被积函数偶函数，$\displaystyle 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\cdot\frac{1}{2}\csc^{2}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos2\theta}{\sin^{2}\theta}d\theta$，$\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$，原式$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\sin^{2}\theta}-2\right)d\theta=\left[-\cot\theta-2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$，在0处发散，需考虑主值，实际结果为$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★★☆