kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\displaystyle \Delta y=\frac{x y}{1+x^{2}} \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $y(0)=1$ ，则 $y^{\prime}(1)=$ （ ）． （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ （B）$\sqrt{2}$ （C） 2 （D） $2 \sqrt{2}$
💡 答案解析
**答案**：A
**解析**： 步骤1：由增量形式知 $\displaystyle y^{\prime}(x)=\frac{xy}{1+x^{2}}$，即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{1+x^{2}}y$。 步骤2：分离变量 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$，积分得 $\displaystyle \ln|y|=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C$，即 $y=C\sqrt{1+x^{2}}$。 步骤3：由 $y(0)=1$ 得 $C=1$，故 $y(x)=\sqrt{1+x^{2}}$。 步骤4：$\displaystyle y^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$，$\displaystyle y^{\prime}(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
**难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别微分方程
由增量形式 Δy = (xy/(1+x^2))Δx + o(Δx) 知，函数可微且导数为 y'(x) = xy/(1+x^2)，即 dy/dx = (x/(1+x^2)) y。
公式：y'(x) = \frac{xy}{1+x^2}
提示：注意增量形式中 Δx 的系数即为导数。
步骤 2/5
目标：分离变量并积分
将方程改写为 dy/y = (x/(1+x^2)) dx，两边积分得 ln|y| = (1/2) ln(1+x^2) + C。
公式：\frac{dy}{y} = \frac{x}{1+x^2} dx
提示：积分时注意常数项的处理。
步骤 3/5
目标：求解通解
由 ln|y| = (1/2) ln(1+x^2) + C 得 y = C √(1+x^2)，其中 C 为任意常数。
公式：y = C \sqrt{1+x^2}
提示：指数化时注意绝对值。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数
代入 y(0)=1 得 1 = C √1 = C，故 C=1，所以 y(x) = √(1+x^2)。
公式：y(0)=1 \Rightarrow C=1
提示：初始条件用于确定特解。
步骤 5/5
目标：求导并计算导数值
对 y(x) = √(1+x^2) 求导得 y'(x) = x/√(1+x^2)，代入 x=1 得 y'(1) = 1/√2 = √2/2。
公式：y'(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \quad y'(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
提示：注意导数计算准确。
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