kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设由线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点处的切线与直线 $2 x+y+6=0$ 平行，而 $y(x)$ 满足峭分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0$ ，则此曲线的方程为 ． （A）$y=e^{T} \sin 2 x$ （B）$y=-e^{x} \sin 2 x$ （C）$y^{\prime}=c^{7}(\cos 2 x-\sin 2 x)$ （D）$y=\mathrm{e}^{x}(\sin 2 x-\cos 2 x)$
💡 答案解析
**答案**：B
**解析**： 步骤1：微分方程 $y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0$ 的特征方程为 $r^{2}-2r+5=0$，$r=1\pm 2i$，通解 $y=\mathrm{e}^{x}(C_{1}\cos 2x+C_{2}\sin 2x)$。 步骤2：曲线过原点，$y(0)=0$ 得 $C_{1}=0$，故 $y=C_{2}\mathrm{e}^{x}\sin 2x$。 步骤3：直线 $2x+y+6=0$ 斜率为 $-2$，切线平行于该直线，故 $y^{\prime}(0)=-2$。 步骤4：$y^{\prime}=C_{2}\mathrm{e}^{x}\sin 2x+2C_{2}\mathrm{e}^{x}\cos 2x$，$y^{\prime}(0)=2C_{2}=-2$，$C_{2}=-1$。 步骤5：曲线方程为 $y=-\mathrm{e}^{x}\sin 2x$，即选项B。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解微分方程的通解
微分方程 y'' - 2y' + 5y = 0 的特征方程为 r^2 - 2r + 5 = 0，解得 r = 1 ± 2i，因此通解为 y = e^x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)。
公式：r^2 - 2r + 5 = 0, r = 1 ± 2i, y = e^x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
提示：特征根为共轭复数时，通解形式为 e^(αx)(C1 cos βx + C2 sin βx)。
步骤 2/4
目标：利用初始条件 y(0)=0 确定常数
曲线经过原点，即 y(0)=0，代入通解得 C1 = 0，所以 y = C2 e^x sin 2x。
公式：y(0) = e^0 (C1 cos 0 + C2 sin 0) = C1 = 0
提示：注意 sin 0 = 0，cos 0 = 1。
步骤 3/4
目标：利用切线斜率条件确定常数
直线 2x + y + 6 = 0 的斜率为 -2，切线平行于该直线，故 y'(0) = -2。对 y = C2 e^x sin 2x 求导得 y' = C2 e^x sin 2x + 2C2 e^x cos 2x，代入 x=0 得 y'(0) = 2C2 = -2，解得 C2 = -1。
公式：y' = C2 e^x sin 2x + 2C2 e^x cos 2x, y'(0) = 2C2 = -2
提示：求导时注意乘积法则和链式法则。
步骤 4/4
目标：写出曲线方程并选择答案
将 C2 = -1 代入得 y = -e^x sin 2x，对应选项 B。
公式：y = -e^x sin 2x
提示：检查选项中的符号和函数形式。
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