kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已知函数 $f(x), g(x)$ 满足方程 $f^{\prime}(x)-g(x)=\mathrm{e}^{x}$ 及 $g^{\prime}(x)-f(x)=0, f(0)=g(0)=0$ ，计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\left[f^{\prime}(x)-2 x g^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 1-\frac{1}{e}$ **解析**： 步骤1：由方程组得 $f''(x)-f(x)=e^x$，解出 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$，$\displaystyle g(x)=f'(x)-e^x=-\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$。 步骤2：代入积分式 $\int_0^1 e^{-x^2}[f'(x)-2xg'(x)]dx$，注意到 $f'(x)-2xg'(x)=e^x+g(x)-2x f(x)$，化简后利用分部积分或直接计算得 $\displaystyle 1-\frac{1}{e}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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