kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设軍级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为 $(-3,1)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{2 n}$ 的收敛区间为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(0,2)$ **解析**： 步骤1：由级数$\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x+1)^{n}$的收敛区间为$(-3,1)$，可知收敛中心为$x=-1$，收敛半径$R=2$。 步骤2：因此$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|n a_n|}=\frac{1}{2}$，从而$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2}$。 步骤3：对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{2n}$，令$t=(x-1)^2$，则收敛半径为$2$，即$|t|<2$，解得$|x-1|<\sqrt{2}$。 步骤4：检查端点：当$(x-1)^2=2$时，级数变为$\sum a_n 2^n$，由原级数在$x=1$处（对应$t=2$）发散，故收敛区间为$(0,2)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定原级数的收敛中心和收敛半径
由级数 ∑ n a_n (x+1)^n 的收敛区间为 (-3,1)，可知收敛中心为 x=-1，收敛半径 R = (1 - (-1))/2 = 2。
公式：收敛半径 R = (右端点 - 左端点)/2
提示：注意收敛区间关于收敛中心对称。
步骤 2/4
目标：推导系数 a_n 的收敛半径
由收敛半径 R=2，得 limsup_{n→∞} √[n]{|n a_n|} = 1/2，因此 limsup_{n→∞} √[n]{|a_n|} = limsup_{n→∞} √[n]{|n a_n|/n} = 1/2。
公式：limsup √[n]{|a_n|} = 1/2
提示：利用极限性质：limsup √[n]{|n a_n|} = 1/2，且 √[n]{n}→1。
步骤 3/4
目标：变换新级数并求收敛半径
对于级数 ∑ a_n (x-1)^{2n}，令 t = (x-1)^2，则级数变为 ∑ a_n t^n。由步骤2知收敛半径为 2，即 |t| < 2，解得 |x-1| < √2。
公式：|t| < 2 ⇒ |x-1| < √2
提示：注意 t 的非负性，但收敛半径由系数决定，与 t 的符号无关。
步骤 4/4
目标：检查端点确定收敛区间
当 (x-1)^2 = 2 时，t=2，级数 ∑ a_n 2^n 对应原级数在 x=1 处（因为原级数中 (x+1)^n 在 x=1 时为 2^n），而原级数在 x=1 处发散（收敛区间为开区间），故新级数在端点发散。因此收敛区间为 (0,2)。
公式：端点对应原级数的点
提示：注意原级数收敛区间为开区间，端点发散。
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