kaoyan1basic 高等数学 第606题
📝 题目
### 第606题 设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$4$ **解析**： 步骤1：曲线$C$为$|x|+|y|=1$，正向。分母$|x|+|y|=1$，故积分$\oint_C (x dy - y dx)$。 步骤2：由格林公式，$\oint_C x dy - y dx = \iint_D (1-(-1))dxdy=2\iint_D dxdy$，其中$D$为正方形区域$|x|+|y|\leq1$，面积$2$，故积分$=2\cdot2=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数
由于曲线C上|x|+|y|=1，分母为1，因此积分化为∮_C (x dy - y dx)。
提示：注意曲线方程可直接代入分母。
步骤 2/3
目标：应用格林公式
令P=-y，Q=x，则∂Q/∂x=1，∂P/∂y=-1。由格林公式，∮_C x dy - y dx = ∬_D (1 - (-1)) dxdy = 2∬_D dxdy，其中D为|x|+|y|≤1所围区域。
公式：格林公式：∮_C Pdx+Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：注意曲线取正向，区域D为正方形。
步骤 3/3
目标：计算区域面积
区域D是边长为√2的正方形，面积=2。因此积分=2×2=4。
公式：正方形面积：对角线乘积的一半，或直接计算。
提示：也可用积分计算面积。
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