kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 【强化篇】第26题（选择题） 26．设 $\Sigma$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 介于平面 $z=0, z=2$ 之间的部分，方向向外．记 $I_{1}=\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} S, I_{2}= \iint_{\Sigma}^{2} z^{2} \mathrm{~d} S, I_{3}=\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ，则 $(\quad)$ 。 （A）$I_{1}>I_{2}>I_{3}$ （B）$I_{2}>I_{1}>I_{3}$ （C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$ （D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$I_1=\iint_\Sigma x^2 dS$，$\Sigma$为柱面$x^2+y^2=1$，$0\leq z\leq2$，$dS=dz ds$，$x^2$在柱面上平均值为$\displaystyle \frac{1}{2}$，面积$4\pi$，故$I_1=2\pi$。 步骤2：$I_2=\iint_\Sigma z^2 dS$，$z^2$平均值为$\displaystyle \int_0^2 z^2 dz /2 = \frac{8/3}{2}=\frac{4}{3}$，面积$4\pi$，故$I_2=\frac{16\pi
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算 I1 = ∬_Σ x^2 dS
柱面 Σ: x^2+y^2=1, 0≤z≤2, 方向向外。面积微元 dS = dz ds (s为弧长)。由于对称性，x^2 在柱面上的平均值为 1/2。柱面侧面积 = 2π×2 = 4π，故 I1 = (1/2)×4π = 2π。
公式：∬_Σ x^2 dS = (1/2)×(柱面面积) = 2π
提示：利用对称性求曲面积分，注意柱面面积公式。
步骤 2/3
目标：计算 I2 = ∬_Σ z^2 dS
z^2 与 x,y 无关，可先对 z 积分再乘周长。dS = dz ds，先对 z 从 0 到 2 积分：∫_0^2 z^2 dz = 8/3，再对弧长积分得周长 2π，故 I2 = (8/3)×2π = 16π/3。
公式：∬_Σ z^2 dS = (∫_0^2 z^2 dz)×(周长) = (8/3)×2π = 16π/3
提示：将曲面积分化为定积分与曲线积分的乘积。
步骤 3/3
目标：计算 I3 = ∬_Σ (x^2+z^2) dy dz
注意积分变量为 dy dz，对应投影到 yz 平面。柱面 Σ 在 yz 平面投影为矩形 [-1,1]×[0,2]，但需考虑方向。由于柱面外法向，dy dz 的符号由 x 的正负决定。实际上，I3 = ∬_Σ (x^2+z^2) dy dz = 0，因为对称性：对于每个 (y,z)，柱面有两片 (x=±√(1-y^2))，dy dz 符号相反，且 x^2+z^2 相同，故积分抵消。
公式：I3 = 0
提示：注意曲面积分中 dy dz 的符号与投影方向有关，利用对称性判断。
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