kaoyan1basic 高等数学 第160题
📝 题目
### 第160题 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则 （A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值． （B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值． （C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标． （D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f''(x)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} > 0$，且分母 $(x-1)^2 \ge 0$，由极限保号性，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-1|<\delta$ 时，$f''(x)>0$。 步骤2：故 $f'(x)$ 在 $x=1$ 附近单调增，又 $f'(1)=0$，则 $x<1$ 时 $f'(x)<0$，$x>1$ 时 $f'(x)>0$，因此 $f(1)$ 为极小值。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析极限条件，确定f''(x)的符号
由极限 lim_{x→1} f''(x)/(x-1)^2 = 1/2 > 0，且分母 (x-1)^2 ≥ 0，根据极限的保号性，存在 δ>0，当 0<|x-1|<δ 时，f''(x) > 0。
公式：lim_{x→1} f''(x)/(x-1)^2 = 1/2
提示：注意分母非负，极限为正，则分子在去心邻域内为正。
步骤 2/4
目标：利用f''(x)的符号判断f'(x)的单调性
由于 f''(x) > 0 在 x=1 的某去心邻域内成立，所以 f'(x) 在该邻域内单调递增。
公式：f''(x) > 0 ⇒ f'(x) 单调递增
步骤 3/4
目标：结合f'(1)=0，判断f'(x)的符号
由 f'(1)=0 及 f'(x) 单调递增，可知当 x<1 时 f'(x) < 0，当 x>1 时 f'(x) > 0。
提示：单调递增且过零点，左侧负右侧正。
步骤 4/4
目标：根据f'(x)的符号判断极值
由于 f'(x) 在 x=1 左侧为负，右侧为正，所以 f(1) 是极小值。
公式：f'(x) 左负右正 ⇒ f(1) 为极小值
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