kaoyan1basic 高等数学 第192题

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📝 题目

### 第192题 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：由变限积分求导公式，$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{\cos^2x}^{2x^3}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt=\frac{1}{\sqrt{1+(2x^3)^2}}\cdot6x^2-\frac{1}{\sqrt{1+(\cos^2x)^2}}\cdot(-2\cos x\sin x)$。 步骤2：化简得$\displaystyle \frac{6x^2}{\sqrt{1+4x^6}}+\frac{2\cos x\sin x}{\sqrt{1+\cos^4x}}=\frac{6x^2}{\sqrt{1+4x^6}}+\frac{\sin2x}{\sqrt{1+\cos^4x}}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：应用变限积分求导公式
设 F(t) 为 1/√(1+t^2) 的一个原函数，则 ∫_{cos^2 x}^{2x^3} 1/√(1+t^2) dt = F(2x^3) - F(cos^2 x)。对 x 求导得 F'(2x^3)*6x^2 - F'(cos^2 x)*(-2cos x sin x) = 1/√(1+(2x^3)^2)*6x^2 + 1/√(1+(cos^2 x)^2)*2cos x sin x。
公式：d/dx ∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) b'(x) - f(a(x)) a'(x)
提示：注意上下限都是函数，求导时需分别处理，且下限求导有负号。
步骤 2/2
目标：化简表达式
计算 (2x^3)^2 = 4x^6，所以第一项为 6x^2/√(1+4x^6)。第二项中 (cos^2 x)^2 = cos^4 x，且 2cos x sin x = sin 2x，所以第二项为 sin 2x/√(1+cos^4 x)。因此结果为 6x^2/√(1+4x^6) + sin 2x/√(1+cos^4 x)。
公式：sin 2x = 2 sin x cos x
提示：注意三角恒等式的使用。

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