kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
## 第5题 (高等数学 - 填空题) I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则原式$\displaystyle =\lim_{t\to0^+}\frac{\sqrt[6]{1+t}-\sqrt[6]{1-t}}{t}$。 步骤2：利用等价无穷小$(1+u)^\alpha-1\sim\alpha u$，得$\displaystyle \frac{(1+\frac{1}{6}t)-(1-\frac{1}{6}t)}{t}=\frac{1}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限转化为易于处理的形式
令 $x = \frac{1}{t}$，则当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^+$。原式化为：
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt[6]{1+t} - \sqrt[6]{1-t}}{t}$$
公式：$x = \frac{1}{t}$
提示：倒代换常用于处理无穷大与零的转换。
步骤 2/2
目标：利用等价无穷小简化分子
利用等价无穷小：当 $u \to 0$ 时，$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$。
因此，$\sqrt[6]{1+t} = (1+t)^{1/6} \sim 1 + \frac{1}{6}t$，$\sqrt[6]{1-t} = (1-t)^{1/6} \sim 1 - \frac{1}{6}t$。
代入得：
$$\frac{(1+\frac{1}{6}t) - (1-\frac{1}{6}t)}{t} = \frac{\frac{1}{3}t}{t} = \frac{1}{3}$$
公式：$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$
提示：注意等价无穷小替换时需确保 $u \to 0$。
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