kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
## 第20题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数） ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$n+1$ **解析**：步骤1：由条件，$f(x)\sim C(x-a)^n$（$C\neq0$）。步骤2：则$\displaystyle \int_a^x f(t)dt\sim \int_a^x C(t-a)^n dt = \frac{C}{n+1}(x-a)^{n+1}$，故为$x-a$的$n+1$阶无穷小。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知条件表示f(x)的等价无穷小形式
由条件，当x→a时，f(x)是x-a的n阶无穷小，即存在非零常数C，使得f(x) ~ C(x-a)^n。
公式：f(x) \sim C(x-a)^n, \quad C \neq 0
提示：注意n阶无穷小的定义：f(x)与(x-a)^n同阶且非零常数倍。
步骤 2/3
目标：计算积分∫_a^x f(t)dt的等价无穷小
将f(t)替换为等价无穷小C(t-a)^n，并积分：∫_a^x C(t-a)^n dt = C/(n+1) (x-a)^{n+1}。由于等价无穷小在积分下保持等价，因此∫_a^x f(t)dt ~ C/(n+1) (x-a)^{n+1}。
公式：\int_a^x f(t)dt \sim \int_a^x C(t-a)^n dt = \frac{C}{n+1}(x-a)^{n+1}
提示：积分后指数增加1，注意积分下限为a，上限为x。
步骤 3/3
目标：确定无穷小的阶数
由上述结果，∫_a^x f(t)dt与(x-a)^{n+1}同阶，因此是x-a的n+1阶无穷小。
提示：阶数即为指数n+1。
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