kaoyan1basic 高等数学 第75题
📝 题目
## 第75题 (高等数学 - 填空题) 设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2k}{a}$ **解析**： 步骤1：建立坐标系，直线$L$为$x$轴，质点$A$位于$(0,a)$。取微元$dx$，质量$dm=dx$，引力$\displaystyle dF=\frac{k\cdot1\cdot dm}{r^2}=\frac{kdx}{x^2+a^2}$，方向指向微元。 步骤2：由于对称性，水平分量抵消，垂直分量$\displaystyle dF_y=dF\cdot\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{k a dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$。 步骤3：积分$\displaystyle F_y=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{k a dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}=2ka\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$，令$x=a\tan\theta$，得$\displaystyle F_y=2ka\cdot\frac{1}{a^2}\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta=\frac{2k}{a}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系并取微元
将直线L设为x轴，质点A位于(0,a)。在直线上取微元dx，其质量dm=dx，引力常数为k，则微元对质点的引力大小为dF = k dm / r^2 = k dx / (x^2 + a^2)，方向沿微元与质点的连线指向微元。
公式：dF = k dx / (x^2 + a^2)
提示：注意线密度为1，所以dm=dx。
步骤 2/3
目标：分析对称性，求垂直分量
由于对称性，水平分量相互抵消，只需计算垂直分量。垂直分量dF_y = dF * (a / sqrt(x^2 + a^2)) = k a dx / (x^2 + a^2)^(3/2)。
公式：dF_y = k a dx / (x^2 + a^2)^(3/2)
提示：利用几何关系：cosθ = a / sqrt(x^2 + a^2)。
步骤 3/3
目标：积分计算总引力
对dF_y从负无穷到正无穷积分，利用偶函数性质：F_y = 2 ∫_0^∞ k a dx / (x^2 + a^2)^(3/2)。令x = a tanθ，则dx = a sec^2θ dθ，积分限θ从0到π/2。代入得：F_y = 2ka ∫_0^(π/2) (a sec^2θ dθ) / (a^3 sec^3θ) = (2k/a) ∫_0^(π/2) cosθ dθ = (2k/a) * 1 = 2k/a。
公式：F_y = 2k/a
提示：换元时注意化简，最终积分结果为1。
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