kaoyan1basic 高等数学 第84题
📝 题目
## 第84题 (高等数学 - 填空题) 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$y''-y'-2y=(1-2x)e^x$ **解析**： 步骤1：$y_1-y_3=e^{-x}$，$y_2-y_3=-e^{2x}$，故齐次解基为$e^{-x}$和$e^{2x}$，特征方程$(r+1)(r-2)=0$，即$r^2-r-2=0$，齐次方程$y''-y'-2y=0$。 步骤2：特解取$y^*=xe^x$，代入求非齐次项：$y^{*'}=e^x(x+1)$，$y^{*''}=e^x(x+2)$，代入得$e^x(x+2)-e^x(x+1)-2xe^x=e^x(1-2x)$。 步骤3：故方程为$y''-y'-2y=(1-2x)e^x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定齐次解和特征方程
由解的结构，非齐次方程任意两个解之差是齐次解。计算 y1 - y3 = e^{-x}，y2 - y3 = -e^{2x}，因此齐次解基为 e^{-x} 和 e^{2x}。特征根为 r = -1 和 r = 2，特征方程为 (r+1)(r-2)=0，即 r^2 - r - 2 = 0，对应齐次方程为 y'' - y' - 2y = 0。
公式：y1 - y3 = e^{-x}, y2 - y3 = -e^{2x}
提示：注意非齐次方程的解的差是齐次解。
步骤 2/3
目标：确定特解并代入求非齐次项
取特解 y* = x e^x（因为 y1, y2, y3 中都含有 x e^x）。求导：y*' = e^x (x+1)，y*'' = e^x (x+2)。代入齐次方程左端：y*'' - y*' - 2y* = e^x (x+2) - e^x (x+1) - 2x e^x = e^x (1 - 2x)。所以非齐次项为 (1-2x)e^x。
公式：y* = x e^x, y*' = e^x (x+1), y*'' = e^x (x+2)
提示：特解选择最简单的形式，即三个解中公共的部分。
步骤 3/3
目标：写出微分方程
综合齐次方程和非齐次项，得到微分方程为 y'' - y' - 2y = (1-2x)e^x。
公式：y'' - y' - 2y = (1-2x)e^x
提示：最终方程形式为 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)。
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