kaoyan1basic 高等数学 第86题
📝 题目
## 第86题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{e^{xy}+xy\sqrt{x^2+y^2}}$，求$f_x'(1,0)$。先求$f_x'$，用商的导数公式。 步骤2：令$u=x^2+y^2$，$v=e^{xy}+xy\sqrt{x^2+y^2}$，则$\displaystyle f_x'=\frac{u_x v - u v_x}{v^2}$。在$(1,0)$处，$u=1$，$u_x=2x=2$，$v=e^0+0=1$，$\displaystyle v_x=ye^{xy}+y\sqrt{x^2+y^2}+xy\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，代入得$v_x=0+0+0=0$。 步骤3：故$\displaystyle f_x'(1,0)=\frac{2\cdot1-1\cdot0}{1^2}=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确求导对象
函数 f(x,y) = (x^2+y^2) / (e^{xy} + xy√(x^2+y^2))，需要求 f_x'(1,0)。
提示：注意是求偏导，将 y 视为常数。
步骤 2/4
目标：应用商的导数公式
设 u = x^2+y^2，v = e^{xy} + xy√(x^2+y^2)，则 f_x' = (u_x v - u v_x) / v^2。
公式：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2
提示：先写出公式，再代入具体点。
步骤 3/4
目标：计算在点 (1,0) 处的 u, u_x, v, v_x
在 (1,0) 处：u = 1^2+0^2 = 1；u_x = 2x = 2；v = e^{0} + 0 = 1；v_x = y e^{xy} + y√(x^2+y^2) + xy * (x/√(x^2+y^2))，代入得 v_x = 0 + 0 + 0 = 0。
公式：v_x = y e^{xy} + y√(x^2+y^2) + (x^2 y)/√(x^2+y^2)
提示：注意 y=0 时多项均为0。
步骤 4/4
目标：代入求值
f_x'(1,0) = (2*1 - 1*0) / 1^2 = 2。
提示：分母 v^2=1，分子为2。
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