kaoyan1basic 高等数学 第90题
📝 题目
## 第90题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题区 □
💡 答案解析
**答案**：$y x^{y-1} f_1 + 2y^{2x} \ln y \cdot f_2$ **解析**：步骤1：令$u=x^y$，$v=y^{2x}$，则$z=f(u,v)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}=f_1 \cdot (y x^{y-1})+f_2 \cdot (y^{2x} \cdot 2\ln y)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：引入中间变量
令 u = x^y, v = y^{2x}，则 z = f(u, v)。
提示：将复合函数分解为外层函数和内层函数。
步骤 2/2
目标：应用链式法则求偏导
∂z/∂x = (∂f/∂u)·(∂u/∂x) + (∂f/∂v)·(∂v/∂x) = f_1·(y x^{y-1}) + f_2·(y^{2x}·2 ln y)。
公式：∂z/∂x = f_1·∂u/∂x + f_2·∂v/∂x
提示：注意 f_1 表示 f 对第一个中间变量 u 的偏导，f_2 表示对 v 的偏导。
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