kaoyan1basic 高等数学 第111题
📝 题目
## 第111题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ **解析**： 步骤1：交换积分次序：$0\le y\le 1$，$0\le x\le \sqrt{y}$，$\displaystyle I=\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}x$。 步骤2：先对 $x$ 积分：$\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{y}}x\mathrm{d}x=\frac{y}{2}$，则 $\displaystyle I=\int_{0}^{1}\frac{y}{2}\cdot\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y$。 步骤3：令 $u=1+y^3$，$\mathrm{d}u=3y^2\mathrm{d}y$，$\displaystyle I=\frac{1}{6}\int_{1}^{2}u^{-1/2}\mathrm{d}u=\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：交换积分次序
原积分区域由 x 从 0 到 1，y 从 x^2 到 1 确定，即 0≤x≤1，x^2≤y≤1。交换次序后，y 从 0 到 1，x 从 0 到 √y，因此 I = ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{√y} (xy)/√(1+y^3) dx。
公式：∫_{0}^{1} dx ∫_{x^2}^{1} f(x,y) dy = ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{√y} f(x,y) dx
提示：画出积分区域，确定边界曲线 y=x^2 和 y=1，以及 x 的范围。
步骤 2/3
目标：对 x 积分
先对 x 积分，将 y 视为常数：∫_{0}^{√y} x dx = (1/2)(√y)^2 = y/2。因此 I = ∫_{0}^{1} (y/2) * (y/√(1+y^3)) dy = (1/2) ∫_{0}^{1} y^2/√(1+y^3) dy。
公式：∫_{0}^{√y} x dx = y/2
提示：注意被积函数中 x 与 y 分离，先积 x 部分。
步骤 3/3
目标：换元积分
令 u = 1 + y^3，则 du = 3y^2 dy，即 y^2 dy = du/3。当 y=0 时 u=1，y=1 时 u=2。因此 I = (1/2) ∫_{1}^{2} (1/√u) * (du/3) = (1/6) ∫_{1}^{2} u^{-1/2} du = (1/6) * [2√u]_{1}^{2} = (1/3)(√2 - 1)。
公式：∫ u^{-1/2} du = 2√u + C
提示：换元后注意积分限的变化，以及常数因子的处理。
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