kaoyan1basic 高等数学 第113题
📝 题目
## 第113题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：由对称性，$\iint_{x^2+y^2\le 1}2y\mathrm{d}\sigma=0$。 步骤2：$\displaystyle \iint_{x^2+y^2\le 1}x^2\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}r^2\cdot r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用对称性简化积分
由于积分区域关于x轴对称，且被积函数中的2y是奇函数，因此∬(2y)dσ=0。
公式：∬_{x^2+y^2≤1} 2y dσ = 0
提示：奇函数在对称区域上的积分为零。
步骤 2/3
目标：计算∬x² dσ
利用轮换对称性，∬x² dσ = ∬y² dσ，所以∬x² dσ = 1/2 ∬(x²+y²) dσ。然后使用极坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ，dσ = r dr dθ，积分区域为0≤θ≤2π，0≤r≤1。计算得∬(x²+y²) dσ = ∫₀²π dθ ∫₀¹ r²·r dr = 2π·(1/4)=π/2，因此∬x² dσ = π/4。
公式：∬_{x^2+y^2≤1} x² dσ = 1/2 ∫₀²π dθ ∫₀¹ r³ dr = π/4
提示：极坐标变换时注意面积元为r dr dθ。
步骤 3/3
目标：合并结果
原积分 = ∬x² dσ + ∬2y dσ = π/4 + 0 = π/4。
公式：原积分 = π/4
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