kaoyan1basic 高等数学 第115题
📝 题目
## 第115题 (高等数学 - 填空题) 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$2\ln(1+\sqrt{2})$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle I=\int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。 步骤2：先对 $y$ 积分：$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\ln(y+\sqrt{x^2+y^2})\big|_{0}^{1}=\ln(1+\sqrt{1+x^2})-\ln x$。 步骤3：$I=\int_{0}^{1}[\ln(1+\sqrt{1+x^2})-\ln x]\mathrm{d}x$，计算得 $2\ln(1+\sqrt{2})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将二重积分化为累次积分
积分区域D是正方形[0,1]×[0,1]，因此二重积分可以化为先对y后对x的累次积分：I = ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1} dy / √(x²+y²)。
公式：∬_D f(x,y) dxdy = ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1} dy / √(x²+y²)
提示：注意积分限的确定，x和y都是从0到1。
步骤 2/3
目标：计算内层积分（对y积分）
将x视为常数，对y积分：∫ dy / √(x²+y²) = ln(y + √(x²+y²)) + C。代入上下限y=1和y=0，得到 ln(1+√(1+x²)) - ln|x|。由于x>0，|x|=x。
公式：∫ dy / √(x²+y²) = ln(y + √(x²+y²))，结果 = ln(1+√(1+x²)) - ln x
提示：注意绝对值处理，x∈[0,1]时x≥0，所以ln|x|=ln x。
步骤 3/3
目标：计算外层积分（对x积分）
I = ∫_{0}^{1} [ln(1+√(1+x²)) - ln x] dx。将积分拆分为两个积分：I = ∫_{0}^{1} ln(1+√(1+x²)) dx - ∫_{0}^{1} ln x dx。其中∫_{0}^{1} ln x dx = -1（利用分部积分或已知结果）。对于第一个积分，令x = tanθ，则dx = sec²θ dθ，当x从0到1时，θ从0到π/4，且√(1+x²)=secθ，所以1+√(1+x²)=1+secθ。积分变为∫_{0}^{π/4} ln(1+secθ) sec²θ dθ。利用三角恒等式和分部积分，最终得到结果为2ln(1+√2)。
公式：I = ∫_{0}^{1} ln(1+√(1+x²)) dx - ∫_{0}^{1} ln x dx = 2ln(1+√2)
提示：计算∫ ln x dx时注意x=0处为瑕积分，但极限存在；也可直接记住∫_0^1 ln x dx = -1。
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