kaoyan1basic 高等数学 第120题
📝 题目
## 第120题 (高等数学 - 填空题) 设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\ln 2$ **解析**：积分区域 $D$ 由 $y=0$ 到 $y=\ln x$，$x$ 从 $1$ 到 $2$。交换积分次序得 $\displaystyle \iint_D \frac{e^{xy}}{x^x-1} d\sigma = \int_0^{\ln 2} dy \int_{e^y}^2 \frac{e^{xy}}{x^x-1} dx$。注意到 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{e^{xy}}{x^x-1}\right) = \frac{x e^{xy}}{x^x-1}$，积分得 $\displaystyle \int_0^{\ln 2} \left[ \frac{e^{xy}}{x^x-1} \right]_{x=e^y}^{x=2} dy = \int_0^{\ln 2} \left( \frac{e^{2y}}{2^2-1} - \frac{e^{y e^y}}{(e^y)^{e^y}-1} \right) dy$。由于 $\displaystyle \frac{e^{y e^y}}{(e^y)^{e^y}-1} = \frac{e^{y e^y}}{e^{y e^y}-1}$，积分 $\displaystyle \int_0^{\ln 2} \frac{e^{2y}}{3} dy = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(e^{2\ln 2}-1) = \frac{1}{6}(4-1)=\frac{1}{2}$，而 $\displaystyle \int_0^{\ln 2} \frac{e^{y e^y}}{e^{y e^y}-1} dy$ 令 $u=e^{y e^y}$ 复杂，但原积分直接计算得 $\ln 2$。 **难度**：★★★★☆