kaoyan1basic 高等数学 第122题
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由 $1 < a \le e^{1/e}$，考虑函数 $f(x)=a^x$，迭代 $x_{n+1}=a^{x_n}$。步骤2：当 $a>1$ 时，$x_2 = a^a > a = x_1$，归纳得 $x_n$ 单调递增。步骤3：方程 $x = a^x$ 有解 $x = e$（当 $a=e^{1/e}$）或小于 $e$，数列有上界，故极限存在。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析数列单调性
由 $1 < a \le e^{1/e}$，考虑函数 $f(x)=a^x$，迭代 $x_{n+1}=a^{x_n}$。当 $a>1$ 时，$x_2 = a^a > a = x_1$，假设 $x_n > x_{n-1}$，则 $x_{n+1}=a^{x_n} > a^{x_{n-1}}=x_n$，由数学归纳法知数列单调递增。
公式：$x_{n+1}=a^{x_n}$
提示：注意 $a>1$ 时指数函数单调递增。
步骤 2/3
目标：证明数列有上界
考虑方程 $x = a^x$，由于 $a \le e^{1/e}$，该方程有解，且最大解为 $x=e$（当 $a=e^{1/e}$）或小于 $e$。由 $x_1=a \le e^{1/e} < e$，归纳可得 $x_n < e$，故数列有上界。
公式：$x = a^x$ 的解
提示：利用函数 $g(x)=a^x - x$ 的零点存在性。
步骤 3/3
目标：判断极限存在性
单调递增且有上界的数列必有极限，因此数列 $\{x_n\}$ 单调递增且有极限。
提示：单调有界准则。
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