kaoyan1basic 高等数学 第54题
📝 题目
### 第54题 I=$\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2(x-2)\sqrt{1+e^x}+C$ **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{1+e^x}$，则$e^x=t^2-1$，$x=\ln(t^2-1)$，$\displaystyle dx=\frac{2t}{t^2-1}dt$。 步骤2：被积函数化为$\displaystyle \frac{\ln(t^2-1)\cdot(t^2-1)}{t}\cdot\frac{2t}{t^2-1}=2\ln(t^2-1)dt$。 步骤3：分部积分：$\displaystyle \int2\ln(t^2-1)dt=2t\ln(t^2-1)-\int2t\cdot\frac{2t}{t^2-1}dt=2t\ln(t^2-1)-4\int\frac{t^2}{t^2-1}dt$。 步骤4：$\displaystyle \int\frac{t^2}{t^2-1}dt=\int(1+\frac{1}{t^2-1})dt=t+\frac{1}{2}\ln|\frac{t-1}{t+1}|+C$。 步骤5：代回$t=\sqrt{1+e^x}$，化简得$2(x-2)\sqrt{1+e^x}+C$。
**难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：换元简化积分
令 t = √(1+e^x)，则 e^x = t^2 - 1，x = ln(t^2-1)，dx = 2t/(t^2-1) dt。
公式：t = √(1+e^x), dx = 2t/(t^2-1) dt
提示：选择 t 使得根号消失，注意 dx 的变换。
步骤 2/5
目标：化简被积函数
代入得 ∫ [x e^x / √(1+e^x)] dx = ∫ [ln(t^2-1) * (t^2-1) / t] * [2t/(t^2-1)] dt = ∫ 2 ln(t^2-1) dt。
公式：∫ 2 ln(t^2-1) dt
提示：化简时注意约去 t 和 (t^2-1)。
步骤 3/5
目标：分部积分
令 u = ln(t^2-1), dv = 2 dt，则 du = 2t/(t^2-1) dt, v = 2t。分部积分得 2t ln(t^2-1) - ∫ 2t * [2t/(t^2-1)] dt = 2t ln(t^2-1) - 4 ∫ t^2/(t^2-1) dt。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分后得到有理函数积分。
步骤 4/5
目标：计算有理函数积分
∫ t^2/(t^2-1) dt = ∫ (1 + 1/(t^2-1)) dt = t + (1/2) ln|(t-1)/(t+1)| + C。
公式：∫ 1/(t^2-1) dt = (1/2) ln|(t-1)/(t+1)| + C
提示：将假分式化为多项式与真分式之和。
步骤 5/5
目标：回代并化简
将 t = √(1+e^x) 代入，得 2√(1+e^x) ln(e^x) - 4[√(1+e^x) + (1/2) ln|(√(1+e^x)-1)/(√(1+e^x)+1)|] + C = 2x√(1+e^x) - 4√(1+e^x) - 2 ln|(√(1+e^x)-1)/(√(1+e^x)+1)| + C。进一步化简得 2(x-2)√(1+e^x) + C。
公式：ln(t^2-1) = ln(e^x) = x
提示：注意 ln(t^2-1) = x，并合并常数项。
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