kaoyan1basic 高等数学 第237题
📝 题目
## 第237题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是 （A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在． （D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：选项A仅保证沿坐标轴方向的偏导连续，不足以保证可微。 步骤2：选项B仅保证连续，不足以保证可微。 步骤3：选项C仅保证偏导存在，不足以保证可微。 步骤4：选项D表明偏导数在$(0,0)$处连续，这是可微的充分条件。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
选项A只保证偏导数沿坐标轴方向连续，但不足以推出可微。例如，函数f(x,y)在(0,0)处沿其他方向可能不可导。
提示：偏导连续是更强的条件，但这里只沿轴连续不够。
步骤 2/4
目标：分析选项B
选项B只说明函数在(0,0)处连续，连续是可微的必要条件而非充分条件。
提示：连续不一定可微。
步骤 3/4
目标：分析选项C
选项C只保证两个偏导数存在，但偏导存在不一定可微，还需要偏导连续或满足可微定义。
提示：偏导存在是可微的必要条件。
步骤 4/4
目标：分析选项D
选项D表明两个偏导数在(0,0)处连续，根据定理，若偏导数在一点连续，则函数在该点可微。
提示：偏导连续是可微的充分条件。
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