kaoyan1basic 高等数学 第606题
📝 题目
## 第606题 (高等数学 - 填空题) 设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：曲线积分与路径无关条件：$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x^2+y^2-1}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-ay}{x^2+y^2-1}\right)$。 步骤2：计算偏导：左边$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x^2+y^2-1}\right)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2-1)^2}$，右边$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-ay}{x^2+y^2-1}\right)=\frac{2axy}{(x^2+y^2-1)^2}$。令相等得$-2xy=2axy$，即$a=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数
由于曲线C上|x|+|y|=1，所以分母|x|+|y|=1，被积函数简化为x dy - y dx。
公式：|x|+|y|=1
提示：注意曲线上的点满足方程，可直接代入分母。
步骤 2/4
目标：应用格林公式
令P = -y, Q = x，则∂Q/∂x - ∂P/∂y = 1 - (-1) = 2。由格林公式，∮_C x dy - y dx = ∬_D 2 dσ，其中D为C所围区域。
公式：格林公式：∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dσ
提示：注意曲线取正向，区域D为正方形|x|+|y|≤1。
步骤 3/4
目标：计算区域面积
区域D是边长为√2的正方形，面积S = (√2)^2 = 2。因此∮_C x dy - y dx = 2 * 2 = 4。
公式：正方形面积公式
提示：也可用积分计算面积。
步骤 4/4
目标：得出原积分值
原积分分母为1，所以∮_C (x dy - y dx)/(|x|+|y|) = ∮_C x dy - y dx = 4。
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