kaoyan1basic 高等数学 第611题
📝 题目
## 第611题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。 ↓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$-2\pi$ **解析**： 步骤1：曲线$\Gamma$为$x^2+y^2=1$与$x-y+z=2$的交线，方向从$z$轴正向看为顺时针。用斯托克斯公式，$I=\iint_S rot\vec{F}\cdot d\vec{S}$，其中$\vec{F}=(z-y, x-z, x-y)$。 步骤2：$rot\vec{F}=(-1-(-1), 1-1, 1-(-1))=(0,0,2)$。曲面$S$为平面$x-y+z=2$上被$\Gamma$所围部分，法向量方向与曲线方向符合右手法则，从$z$轴正向看顺时针，则法向量向下。平面法向量为$(1,-1,1)$，单位化，向下即与$z$轴负向成锐角，取法向量$(-1,1,-1)$。$d\vec{S}=(-1,1,-1)dS$，点乘$(0,0,2)$得$-2dS$。$S$在$xOy$投影为圆$x^2+y^2\leq1$，面积$\pi$，故$I=-2\pi$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域和曲面方向
曲面Σ是球面x^2+y^2+z^2=1在第一卦限部分的下侧。第一卦限对应x≥0, y≥0, z≥0。下侧意味着法向量与z轴负方向成锐角，即法向量指向z轴负方向。由于是球面，下侧的法向量指向球内下方。
提示：注意曲面是球面的一部分，且指定了下侧，因此投影到xOy平面时，z取负值。
步骤 2/4
目标：将曲面积分转化为二重积分
由于积分表达式为∬_Σ xyz dxdy，这是曲面积分中投影到xOy平面的形式。对于下侧，dxdy = -dxdy（投影面积元素带负号）。因此，∬_Σ xyz dxdy = -∬_{D} xyz dxdy，其中D是Σ在xOy平面上的投影区域。Σ在第一卦限，投影D为x^2+y^2≤1, x≥0, y≥0的部分（四分之一圆）。在Σ上，z = √(1-x^2-y^2)（因为第一卦限z≥0）。所以被积函数xyz = xy√(1-x^2-y^2)。
公式：∬_Σ f(x,y,z) dxdy = ±∬_D f(x,y,z(x,y)) dxdy，其中符号由曲面侧决定：上侧为正，下侧为负。
提示：注意曲面侧对符号的影响。
步骤 3/4
目标：计算二重积分
计算I = -∬_D xy√(1-x^2-y^2) dxdy，其中D: x≥0, y≥0, x^2+y^2≤1。采用极坐标：x=r cosθ, y=r sinθ, dxdy = r dr dθ，r从0到1，θ从0到π/2。被积函数变为xy√(1-r^2) = r^2 cosθ sinθ √(1-r^2)。所以I = -∫_{θ=0}^{π/2} ∫_{r=0}^{1} r^2 cosθ sinθ √(1-r^2) * r dr dθ = -∫_{0}^{π/2} cosθ sinθ dθ ∫_{0}^{1} r^3 √(1-r^2) dr。
公式：极坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ, dxdy = r dr dθ。
提示：注意积分限：θ从0到π/2，r从0到1。
步骤 4/4
目标：计算θ积分和r积分
先计算θ积分：∫_{0}^{π/2} cosθ sinθ dθ = 1/2 ∫_{0}^{π/2} sin2θ dθ = 1/2 * [-cos2θ/2]_{0}^{π/2} = 1/4 * ( -cosπ + cos0 ) = 1/4 * (1+1) = 1/2。再计算r积分：令u=1-r^2，则du=-2r dr，r^2=1-u，r dr = -du/2，r^3 dr = r^2 * r dr = (1-u) * (-du/2) = -(1-u)/2 du。当r=0时u=1，r=1时u=0。所以∫_{0}^{1} r^3 √(1-r^2) dr = ∫_{1}^{0} -(1-u)/2 * √u du = 1/2 ∫_{0}^{1} (1-u)√u du = 1/2 ∫_{0}^{1} (u^{1/2} - u^{3/2}) du = 1/2 [ (2/3)u^{3/2} - (2/5)u^{5/2} ]_{0}^{1} = 1/2 * (2/3 - 2/5) = 1/2 * (10/15 - 6/15) = 1/2 * 4/15 = 2/15。因此I = - (1/2) * (2/15) = -1/15。
公式：∫ cosθ sinθ dθ = 1/2 sin^2θ；换元积分法。
提示：注意换元时积分限的变化。
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